Теория автоматического управления. Лекция 23. Корневой метод Соколова Т.Н.

0:06 Добрый день, уважаемые зрители канала, мы продолжаем изучение линейных систем автоматического управления в рамках сегодняшнего видео. Мы коснемся еще раз темы синтеза, система автоматического регулирования, а именно мы. Рассмотрим 1 из простых методов проектирования, корректирующего устройства для системы регулирования, который был предложен. В свое время профессором Соколовым метод получил название корневого метода Соколова, еще его называют.

0:43 Методом синтеза по преобладающим корням. Теперь давайте познакомимся с ним более подробно. Пусть имеется некоторое характеристическое уравнение системы автоматического управления в следующем виде. Достаточно такое стандартное характеристическое. Уравнение среди всех корней этого уравнения всегда имеется 2 или 3 корня с меньшей по абсолютному значению вещественной частью, которые определяют ход переходного процесса. Это положение является основной центральной идеей корневого метода Соколова.

1:24 Поэтому исходное уравнение можно представить через эти корни в следующем виде, то есть вот это уравнение. Мы представляем уже в этом виде и, как мы видим, в этой скобке у нас представлена та часть характеристического уравнения, которая определяет эти 2 корня.

1:45 У которых по абсолютному значению вещественная часть является намного меньше, чем. В корнях, которые определяются вот этой частью характеристика уравнения, поэтому значительная часть хода переходного процесса зависит от этой составляющей. Найдем корни 2 сомножителя данного уравнения. Допустим, что они комплексно сопряженные, но и, соответственно, могут быть выражены через коэффициенты вот этой части уравнения б 1, б 2.

2:30 Для этой определяющей пары комплексно сопряженных корней будет соответствовать колебательная составляющая переходной характеристики с затуханием за период равных 98 она другими словами. Оптимальные соотношения между коэффициентами б 1 и б 2 определяют из условий получения затухания за 1 период равным 98.

3:01 Где Альфа и Бета это вещественная и мнимая части комплексного корня основной части процесса, то есть для тех комплекс сопряженных корней, которые мы. Записали для основной части нашего характеристического уравнения. И если вместо Альфа и Бет мы подставим значение для вещественной и мнимой части из наших.

3:26 Комплекс сопряженных корней, то мы получим соотношение для коэффициентов б 2 и б 1. Вот в таком вот виде, который получил профессор Соколов. Это соотношение между коэффициентами б 2 и б 1, следует обеспечивать выбором параметров элементов системы. То есть другими словами, если это соотношение функционально будет обеспечено в нашей системе, то? Мы получим устойчивую систему автоматического управления, поэтому при проектировании нужно учитывать вот это. Вот соотношение или мы должны обеспечить вот такой вот коэффициент для б 2 и квадрата б 1.

4:12 Данная формула показывает желаемое соотношение между коэффициентами основного сомножителя характеристического уравнения. Только что мы посмотрели соотношение между коэффициентами, когда основная часть нашей. Переходной характеристики определяется квадратным уравнением, то иногда в некоторых случаях бывает удобно представлять основной сомножитель этого характеристического уравнения уже уравнением 3 степени, которая может быть представлена уже вот в таком вот. Виде это уравнение можно представить также в следующем виде. То есть еще раз его разложите, зная соотношение между этими коэффициентами? Мы можем найти соотношение уже для всех 3 коэффициентов вот этого кубического уравнения, то есть для б 2, б 1 и б 3.

5:13 В этом случае, если будут обеспечены уже соотношения для этих коэффициентов при проектировании нашей САУ, то мы получаем соответственно. Систему автоматического уравнения, которое будет устойчиво и удовлетворять нашим потребностям аналогичным образом, можно получить. Выражение для коэффициентов любой степени выбора уравнения для основной составляющей зависит от структуры САО, но данный метод. Эффективен в случае невысокой степени характеристического уравнения. То есть, когда степень характеристического уравнения равна 2 3 или 4?

5:59 Сам профессор Соколов дает рекомендации для выбора коэффициентов характеристических уравнений более высоких степеней. Это можно найти в соответствующих работах, однако использование данного метода ограничено в сложных системах необходимые. Значения коэффициентов характеристического уравнения не всегда могут быть получены выбором корректирующего устройства или не всегда найденные коэффициенты. Можно будет реализовать структурно и соответствующем корректирующем устройстве.

6:36 Теперь давайте решим задачу, пусть у нас такие условия. Для нашей задачи необходимо с помощью корневого метода определить коэффициенты системы автоматического. регулирования со следующей структурой вот такая у нас структура, это замкнутая система, где у нас имеется корректирующее устройство в виде регулятора и.

7:00 Передаточная функция объекта. Начать передачная функция регулятора задана вот такой вот формулы. Если обратить внимание, то мы здесь записали пер регулятор, а передаточная функция объекта у нас заодно. Вот тайком, вот виде и нашей задачей является найти параметры. И регулятора, используя корневой метод Соколова, давайте решать эту задачу. Необходимо найти характеристики Полином замкнутой системы. Для начала, то есть звенья, у нас соединяются последовательно, поэтому мы их перемножаем и получаем. Вот такое соотношение для разомкнутой части нашей системы. Откуда мы можем определить передачную функцию уже для замкнутой? То есть для всей системы, которая будет выглядеть вот таким вот образом, соответственно, мы можем записать. Характеристики Полином нашей системы вот в таком вот виде. Но мы видим, что в ней присутствуют неизвестные коэффициенты Б. И. А + 1 теперь давайте воспользуемся корневым методом для того, чтобы определить параметры нашего регулятора.

8:21 Итак, характеристики Полином нашей системы задан и в соответствии с методом. Соколова этот же характеристики Полином мы должны представить вот в таком вот виде. То есть Полином 3 степени мы должны его представить вот в таком вот виде? Давайте раскроем этот Полином, это уравнение, но при этом мы всегда будем. Иметь в виду, что между коэффициентами б 1 и б 2 существует вот такая вот связь. То есть мы ни в коем случае не должны упускать из виду, что между б 2 и б 1 обязательно должно быть реализовано. Это соотношение, это главное условие метода Соколова. Соответственно, если положить бы 1 равным, допустим, 0 8 то соответственно б 2 будет автоматически найдено, и это значение будет вот таким. Развернем наш характеристики Полинома и подставим него значение бы 1 и б 2. И мы будем иметь вот такое вот соотношение.

9:34 Сравниваем между собой исходное уравнение и полученное уравнение. Мы можем записать систему с неопределенными коэффициентами, то есть. С в квадрате, то есть этому коэффициенту. Нам соответствует вот этот коэффициент также при 2 степени, с то есть с + 0 8 равно единички соответственно следующему коэффициенту при степени. С равно единички, то есть вот этому коэффициенту у нас соответствует вот этот коэффициент. Его мы также записываем виде равенства, ну и соответственно свободный член, вот он это уравнение. Он равен этому коэффициенту вот такое соотношение. Мы получили для коэффициентов, откуда решая это уравнение, точнее, система с 3 уравнениями и 3 неизвестными, мы получаем значения. Неизвестных коэффициентов, которые, если подставить в наше характеристическое уравнение, мы получаем вот такую вот передачную функцию для нашей системы. Другими словами, мы, используя корневой? Метод Соколова получили передаточную функцию САО. Теперь остается только проверить, будет ли эта система, устойчивая для этого. Давайте запишем отдельно характеристики Полином и проверим.

11:11 Устойчивость нашей системы с помощью критерия Гурвица составим матрицу Гурвица и проверяем наши диагональные миноры, как мы видим эти диагональные. Миноры положительные, что говорит о том, что данная система будет устойчивой. Вот таким вот образом мы решили задачу, используя корневой метод Соколова.

11:38 Я надеюсь, что данное видео было полезным, оно поможет вам подготовиться к экзаменам. Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, оставляйте комментарии вопросы. Я стараюсь на них отвечать, желаю всем успехов.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.