Лекция 12 | Теория автоматического управления

0:00 Так ну что давайте посмотрим, как, по крайней мере, я ожидал, что вы это сделаете. Не я вам точно говорю, что надо делать. Ну и отлично, посмотрим, кто решил домашнее задание. Так значит, давайте начнем с пункта 2 он проще? Вот вот пункт, 2 вот у нас написано так, ни для кого не является сюрпризом, то. Что здесь написано, что здесь ИКС точка? Равно вот эта матрица умножить на ИКС, + вот это на на у это все нормально воспринимается то, что это написано Матрица. Система они просто какие, то матрицы квадратная, хорошо?

0:50 Так что мы имеем, давайте сперва 2 задачу да посмотрим, что там у нас с управляемостью, то есть. Ну, найдем матрицу управляемость по определению перестолбет, смотрится управляемости, 1 0 2 да. Вот. 2 Что там, да 3 1 и что то там, 4 что ли? 3 Да, 3 1 3 Да согласен, вот. Ну спасибо, ладно, 6 согласен, 2 согласен. В смысле, я на этот столбец умножаю вот то. 3 1 3 3 Умножаем 6 здесь счет, 3 неправильно согласен, 68 3 3 наверное. Вот да, это матрица, управляемости у нас хорошо 4.

1:56 Согласен, согласен, 4 косяк, так вот то у нас матрица, управляемость да переход к канонической форме управляемости. Да как осуществляется, нам нужно иметь еще помимо. Матрицу управляемости, да что то у нас было с у нас с было равно до МЦ по моему, в ты 1 да четко какая то такая формула. 1 1 Тут Нули Нули Нули тут, а 1, а 1 а 2.

2:27 Так так было. Что с минусом? - 1. Просто МЦ, ну вообще халява тогда сорян вот. Да просто инце согласен, это уже у этой у наблюдаемости там по другому, да? Так ну что, для этого нам нужны коэффициенты, а то есть характеристический многочлен нужен, но как его найти можно? Лямду ты, 1 конечно, Лямду, что там + 1 Лямб.- 2 - 1 1 - 1 Да, и*, 1 0 0 что то такое там, да?

3:22 Такое да вот. Ну что там получается, лям квадрат, она 1 на лямб? ты 2 или что, или лучше раскрыть прям кому нибудь из них, а? Ну ладно, давайте так + что. - 1 да. + 0 + Лямбда + 1 Что то такое, да? Лямбда в Кубе. И че там получается лямбда в Кубе и 2 лямбда квадрат лямбда квадрат? + Сколько там лямбда, а лямбда нет вообще да лямбда нет здесь, 2 и + 2 что то такое, да? Такое, да у вас такое получилось. Проблему. Матрица перехода к коммерческой форме управляемости. Ну ладно, вот соответственно, что мы имеем МЦ, у нас есть 13601-22-34.

4:53 И вот это вот матрица, да на который нужно давно уж темцы. Она как выглядит 1 1 0 0 0 дальше, если 2, 2 и тут 0? Вот эти 2 матрицы надо перемножить. Как есть? Ну ладно, ладно, ладно, как скажете 1 0 2. Что там 1 1? Что там?- 1 1 0 0 На что там умножается? * 2 0 Что там 0 и что там, 1 что то такое? Что то такое там получается, я не уверен в последнем. Я не очень то концентрировался, так я. Коэффициентные функции с собственными числами. Коэффициенты передаточной функции у нас.

6:06 У нас в знаменателе передаточной функции стоит характеристический многочлен, а? Все точка. Характеристики многочлена, это полу вот это как раз чисто знаменатель. Да, но я мы его искали, это чисто знаменатель, передаточной функции соответствующий вот. Давайте 1 задачку, она поинтереснее. 2 Она скучная, такая механическая. 1 Полугарни. 1 Ну что, МЦ, также матрицу управляемости, что мы там имеем 1 0 1 1 столбец, 2 столбец, какой получается? 3 0 3 Разумеется, да 3 0 3 сделали с ним то же самое, что с 1 0 1 и получилось то же самое. Преобразование 9 0 9 еще в 3 раза увеличили, да именно так да там так получается. Вот вот, смотрите, нам нужно вот эту матрицу привести. К какому виду обратить теперь внимание? Мы теперь переходим, к какому другому базису меняем базис этого вектора х, в котором он представлен. И как мы это делаем, мы это делаем, как Икс равняется с на Икс с волной.

7:42 Да вот, соответственно, матрица МЦ при этом, но при этом у нас что получается там, а с волной до равняется, чему там с по моему, в ты 1 да это? С да с волной равняется с ты 1 б так, а, МЦ, если вот вы подставите. А и б да, теперь формулы для матриц управляемости. Да что получится, МЦ с волной это будет, что это будет с ты ты 1 на МЦ, вот? Вот это, кстати, было, я писал, это помню. Вот, соответственно, теперь нам что нужно сделать? Теперь нам нужно перейти к какому то новому базису найти вот такой с в что она возьмет и в МЦ Нижние Строки сделает нулевыми.

8:36 Причем это ты 1 обратите внимание самца, он что делает? Вот опять с ты 1 на Дымце, как работа, она двигает строчки. То есть можно вычитать строчки друг из друга, можно их даже местами менять, да? Вот можно не я, не хочу здесь менять местами. Знаете почему то, что у нас здесь ранг, у нее какой 1? Да, нам нужно 2 нижние строчки занулить. Это гораздо проще, чем менять их местами, конечно, чем 1.

9:06 Да вычитаем из 3 строчки 1 соответственно смотрите. Вот у нас 13900-01-39 вот у нас 10001-00-01. Вот мы теперь элементарными преобразованиями приводим матрицу МКЦ к такому виду до, чтобы у нас сверху была полноранговая матрица, а снизу были нули. Ну, соответственно, из 3 строчки вычитаем 1. Имеем 1 3 9 внезапно в 1 действие, да? Вот. Имеем здесь. 0 0 1 0 1 0 - 1 0 1 Соответственно выполняет те же самые операции над единичной матрицы. Да вот мы здесь как раз получаем с ты ты.

9:58 Вот это с ты 1 то, что то, что мы на единичной матрице, сделали те же операции, которые мы сделали на 2 3 СМЦ. Вот это МЦ с волной получилось, вот а вот справа получился с что соответственно откуда с. Будет ее обратное обратная к матрице, которая вычитает из 3 строчки 1. Это какая, которая прибавляет к 3 строчке, 1 внезапно дай. Все. 1 Так смотрите, давайте теперь убедимся в том, что это действительно так. Да я тут написал вот эту вот 1 матрицу преобразуем другую, вот он ответ. Да вот чтобы это не выглядело как нечто удивительное, ну или если бы выглядело. Как нечто удивительное, то совсем удивительное. Давайте все таки проверим, что это, что мы таким образом раскладываем систему да в управляемую не управляем. Вот для этого то, что касается МЦ, нам уже неинтересно, это я сотру.

11:14 Давайте посмотрим на матрицу, а с волной посмотрим. Что там получается с ты, 1 да? 1 1 1 0 - 1 0 0 0 0 На А а у нас там какая была это 1 1 2? 1 2 - 1 2 1 1 Справа умножаем на. Но вообще говоря, на самом деле тут что нужно сделать? Вот с матрицы, а да у нас что, получается, у нас получается, что, наверное, к 1? Чего там? Сейчас к 1 столбцу надо добавить 3. Да, а из 3 строки вычесть из 1 строки вычесть, 3 да? Трудновато так, да давайте. Давайте да давайте.

12:25 Сделаем нормально, тогда 1 0 2 умножаем, на 1 0 1 что имеем здесь. 3 0 3 А ну да так и было, остальное остается как было. 0 2 1 2 - 1 1 Так что так? К 1 столбцу прибавил, 3 должно быть так, да? Теперь из Что мы имеем, теперь мы имеем 3. Так 3 0 0 Что там получается 0 2 1 0? 2 1 Внезапно 0 2 1 Да так сейчас почему мы говорим? Все теперь из Сейчас секундочку. А с 3 читаем 1. А все правильно, да получаем 2 она, 1 здесь 2 + 1 да. Вот матрица, а Так, а матрица без волны будет какая, так с ты 1 где она там у нас 110-00-00. 1 0 Здесь, конечно же, умножить на матрицу 1 0 1. Сейчас секундочку матрицу бе напишем, будет видно 1 0 0.

14:30 Так в чем сомнения? Где вот тут, да, да, похоже, на то или 1 да, да, да, похоже, на вот, ну вот смотрите, что получилось. Только матрица с волной неплохо бы, наверное, еще да найти, а Цесс волна. Это будет у нас с волной, это будет цена с. Да, да, это будет цена с с вот она. Соответственно, Цой с волной будет строка, а? Что у нас там будет 2? Да и 1, да так кажется. 2 0 1 Да, Так ну вот мы нашли, а с волной б с волной ц, с волной. Да ну д с волной искать не надо, так теперь матрицу перехода могу стереть.

15:54 Запишем теперь это в следующем виде. В общем, матрицу соберем матрицу системы. 1 0 0 Ц. 2 0 1 0 Вот смотрите, что у нас получилось. Как у нас это выглядит? Вот так вот разделим. Получается, что управляемый настолько там одномерный подпространство и соответствующая система будет иметь вид 3 1 2 0. Вот это вот подсистем, которая 2 она не управляема, у нее все входы нули из 1 подсистемы в нее никаких. Связей не приходит обратно, она просто неуправляема.

17:01 Вот так. Но Но она может быть преобразована, и это может быть преобразована, они могут быть разных базисов там внутри. Число взять в итоге, как как мы именно выделяем из того, что у нас получилась проблемная, что у нас получилась проблемная система, вот взяли просто тут. Да, Ну вот так. У нас не ну вот смотрите, здесь вектор иксов, который. В управляемом пространстве лежит здесь вектор иксов. Размерности, 2 которые в нее управляем подпространство. Да здесь вот это матрица этой системы, например, да она может иметь немного другой. Вид, если вы перейдете к другому базису. Ну и ладно, что такого вот представление в пространстве и состоянии не единственное это так, да чего?

18:02 То есть мы в любом случае должны верхний элемент отсекать, если мы знаем, что управляема система должна? Вот смотрите, мы сейчас привели к какой ситуации, что. Матрица, а имеет да вот такую блочную структуру, которая вот этот вот блок нулевой. Мы могли привести к нулевому блок, который был бы, например, здесь слева сверху. Да, когда у нас по другому были бы распределены управление. Не тогда эти системы были бы друг с другом связаны. Вот видите, перекрестные матрицы здесь перекрестной матрицы из 1 в другую. Да есть связь, а из другой в 1 нету.

18:47 Мы разве не можем тройку перекинуть сейчас? Вот нижний левый блок матрица, вы хотите поменять иксы местами? Но тогда там такую же красивую ситуацию, конечно, не сложится. А у нас обязательно получился бы здесь, 0 и вот здесь это обязательно. Мы в прошлый раз это показывали, ну точнее пытались в конце показать. Это вот что есть, мы приведем матрицу управляемости, вот. К тому виду, что она является как сверху полноранговая матрица. Да, а снизу, 0 то тогда матрица система будет иметь вот такой вот блочную структуру, где вот здесь, вот здесь, нули разложение Калмана.

19:32 Да, ранг, в данном случае управляемой подсистемы размерности 1. Вот неуправляемые 2. Так хорошо, давайте теперь скажем еще пару слов. Про управляемость, наблюдаемость и перейдем уже к непосредственно методу назначения полюсов.

20:03 Итак, вспоминаем у нас с вами, чтобы вы. Управляемый по системой будет равен, а сторонка управляема максимальной управляемой по системы будет равен раме управляемости сходу. Вы про матрицу управляемости, да, да? Как то ранг матрицы, управляемости это прям. Размерность, под управляемый управляемый опыт пространства, просто управляем под пространством, управляем под пространством, называем. То пространство, которое максимальное не вариантное подпространство матрицы системы, которая содержит вектор ну управления вектор Б.

20:53 Матрицы отжимаем преобразование. Вот. Так что так? Нет, не будет перерыва. Так давайте приступим, и так у нас с вами было, что мы с вами ввели понятие управляемости. Да, мы с вами посмотрели, каков критерий управляемости. Посмотреть, что такое каноническая форма управляемости правильно узнали, как переходить к канонической форме управляемости. Что еще узнали, как разделять систему на управляемую, не управляемую? Да вот сейчас мы с вами увидели, это как на практике это дело. Ну как это сделать ручками, скажем так, вот то?

21:42 Ко всему этому есть еще 1 понятие кто нибудь открывал, кстати. Как их называют? Да, конспекты, которые я скидывал. Да вот, соответственно, есть понятие дуальное понятие управляемости, это наблюдаемость. Все свойства, которые касаются там управляемости. Да, они имеют такие же про наблюдаемость, все свойства, которые касаются наблюдаемости, имеет свои. Симметричные аналоги правильно, да управляем стекло. Давайте коротко скажу про наблюдаемость и потом пойдем дальше, так наблюдаемость.

22:33 Определение. Так что так? Система. Что то цель, что то. Является наблюдаемый. Если Из Игрек. Ну да, да если из Игрек вот. При Принадлежащем угля доста. Равным 0 Можно. Восстановить. Икс от 0 Вот если мы бросим систему. Жить своей жизнью, то есть управление на нее будем подавать нулевое. Вот то пронаблюдав, какой то любой конечный отрезок. Выходов из этой системы мы можем восстановить. Какое было значение состояния этой системы в нулевой момент времени, когда мы ее отпустили вот в принципе? Вот про ут равны 0 до отсутствие воздействия, это можно ослабить условия. То есть эквивалентным определением будет, если просто мы Уатэ нам известно? Да вот потому, что тогда мы просто можем собственное движение, вычесть подсистемы. Да ну точнее вычесть движение за счет управления, да и получить. Собственное движение, которое было в это время, вот и свести критерий Суате неравным. Но Люка, ну вот я определение суате неравным нолюка Ате равное вот.

24:43 Дальше что? Исходя из этого определения. Можно показать критерий управляемости теоремы. Простите наблюдаемости. Теорема. Так система. Наблюдаемо. Только тогда, когда Так м о полноранговая? Где? Мо это что, ц. ц. а? Ц. А. н.. Система наблюдаема тогда только тогда, когда так называемая матрица наблюдаемости да полноранговые. Это матрица. Наблюдаемость. Вот, но доказательство этой теоремы. Скажем так, спрашивать не буду, оставлю в качестве упражнения при этом.

26:12 Могу намекнуть то, что. Чтобы Доказать вот это, да нужно сделать нечто подобное, что мы делали с управляемостью. Только рассматривать в качестве выходов не просто Игорь КТ. Игрик вместе с 1 Н. ты 1 производными, вот тогда вам получится из этих игриков восстановить, соответственно, показать четко, каковы критерии возможности восстановить просто значение. Икс на отрезке даже не в 0, а просто на отрезке даже можно установить вот так.

26:51 Дальше что? Это критерий управляемости. Наблюдаемости, простите, критерий наблюдаемости помимо критерия? Да, есть симметричная вещь к канонической форме управляемости да есть. Каноническая форма наблюдаемости, значит, определение ну не определение. Утверждение, наверное, или теорема напишет, дайте теорема, теорема звено.

27:25 Равное, что у нас там б 1 с у нас 1 +. Уделить на СНТ + 1 см 1. + Арена. Представьте тему В. В экономической форме наблюдаемости каэфайн до канонической формы наблюдаемости, то есть, то есть наблюдаемости. Итак, что там у нас будет, у нас там будет? Давайте матрицы зарисуем просто и все. Большую большую матрицу нарисуем. Что это такое? Так что у нас там было одни, а 1 или а 2 она ты, а 3. * * * + * * * * * ты, а н т д дальше 1. 0 0 1 0 0 0 0 0 Здесь 0 Здесь неизвестно, что здесь.

29:00 1 0 0 0 Здесь, соответственно, будет б 1 б 2 б. 3 БМТ. Так здесь 1 0 0 0 0? Вот каноническая форма наблюдаемости чисто транспонирование канонической формы управляемости чистую, да? Можно получить из? Из кайфу. Транспонирование. Вот то есть, а Б. Ц д. Переводим в а транспонирование, б транспонирование, ц транспонирование, д. Достаточно найти максимальную управляемую тут систему и ее транспонирование, найти максимально подрезаемую подсистему. Управляемость, наблюдаемость это.

30:24 2 Вообще разных подпространства, вот поэтому вы можете найти управляемую для вашей системы, потом транспонируете найти управляемый для то, и тогда вы найдете наблюдаемый для ваших. Вот. Так что так? Это дальше что? Это пристаем в кайфа, так теперь о матрице перехода, да? Так теорема еще 1 теорема? Матрица. Входа наблюдаемой системы. К к ф н имеет вид. Ну какая там она будет с о сейчас? + 1 там был вот так здесь, соответственно, что у нас будет. Матрица.

31:43 Слева была здесь будет вот так, да здесь будет 1 0 0 1 1 а 1, а 2, а 1. 0 М. О. Вот так вот. Обратите внимание здесь со в ты 1. Так что так? Нет, с о с о в ты 1 там, мы просто для матрицы перехода. Писали здесь для матрицы. Да, переходы в ты, 1 да правильно написано. Да тоже транспонирование получается вот. Почти только видите что здесь - 1 там на чуть чуть подумать да да да да да да ну конечно но только для другой системы для транспонирования системы.

33:06 Так хорошо, давайте дальше. Матрица перехода и то же самое еще 1 теорема. Как ее сформулировать? Если Как выглядит она, давайте вот так вот строчки, да здесь напишем нолик здесь м о 2 и где. О 2 полноранговые. То Система имеет вид. А 1 1. Здесь, на чтобы 1 был 2. 0 0 Ц 2 Здесь, 0 а 1 2 а 2 1 по моему, так? Да, Вот вот так выглядит выделение наблюдаемой и не наблюдаемой подсистем. Наблюдаем это, 2 разумеется, то есть где. А 2 1 б 2 ц 2 0? Наблюдаем.

34:55 То есть в случае управляемый верхнюю часть получаем, но вы можете сделать наоборот. У матрицы наблюдаемости занудить не 1 столбцы, а последний, да? Но тогда она по другому это с тем будет немного, тоже будет все же нули выделены просто по другому. Вот здесь будет Нолик, и вот здесь будет Нолик.

35:17 Переставьте их местами, все станет нормально. Вот дальше что, а теперь то, что называется, разложением Калмана системы. Вот мы систему в целом, если вот у нас какую, то нам дали, мы можем ее разложить аж на 4 части. Как это изложение Калмана? То есть, применив сперва к системе разложения в управляемую неуправляемую часть, а потом для подсистем управляемые и неуправляемые, применив разложение для каждой из них на. Наблюдаемые не наблюдаемы, мы получим 4 подсистемы. Вот вот как они будут выглядеть, давайте запишем.

36:21 А 1 1 0 а 220-00-03? 0 4 4 Здесь вот Нолик здесь, а? 1 2 А 1 3 А 1 4 а 2 4 а 3 4 Б 1 б 2 0 0 0 ц 1, 0 ц, 2 ну здесь д какой то не обязательно. Там именно, а 2 1 снизу. Так здесь ц 2 давайте запишем здесь ц, 4 где 2 1 2 4 здесь. Да, да здесь вот то, что а, а а 0 0 б 1 0 0 это как раз не управляем по частям. Здесь 1 часть не наблюдаем, здесь 1 часть не наблюдаем, а 2 наблюдаем. 2 2 Я вас понял, ну вы говорите, что вы при единичку, да? Ну, раз уж там обозначил 1 здесь 2 2 правильно, конечно, писать, 2 2 конечно.

37:49 Вот на такие составные части можно разложить любую систему, соответственно здесь следует что сказать. Да каковы матрицы при этом, а каковы подсистемы да получились? Давайте их проклассифицируем те системы, которые там написано. Без этого утверждение будет неполным. Так и так подсистема. Все вопросы управляема не, наверное, не так лучше, да лучше не так лучше. Точно. Так даже левее, вот система. Так вижу. Да вот здесь пишем управляема. Здесь пишем наблюдаем.

38:56 Так, значит, давайте вот 1 подсистему, которая, а 1 1 1 б 1 здесь 0 здесь 0 напишем? Это подсистема, какова она, она управляема? Да, конечно, направляемо да наблюдаемо. Нет, согласен, давайте 2 теперь, а 2 2. Что у нас там б 2 ц 2 0 она, что управляема да наблюдаема? Наблюдаем. Здесь, когда мы раскладывали. Да, Подсистема, которая в 2 столбец 2 строка блочный, то есть на 2, 2 б 22 здесь. Смотрите вот на эту штуку, как мы сперва вот сперва сверху взяли и матрицу. Ну, под систему разбили, на управляемый неуправляемый получили, что вот здесь.

40:27 Матрицу системы вот здесь матрицу подсистемы. Вот здесь какой то б здесь, 0 соответственно, вот вот так вот если чуть чуть разделить да здесь. Вот на крупные блоки посмотрите, вот чисто разделение на управляемую часть. Поэтому 1 2 подсистем, которые я пишу, они, конечно же, будут управляемы, а 2 2 конечно же, будут неуправляемых. Вот они, Нули, и из них нету никакого перехода в другие подсистемы.

41:05 Здесь нули стоят поэтому. Нет, соответственно, что мы имеем дальше, мы имеем, а 3 3 в этом уже 0 здесь ц. 0 Здесь 0 Вот такая система, она будет управляема, нет. А наблюдаемо. Наблюдаешь для такой системы, как будет выглядеть? Ну вот, ц у нас стоит здесь 0. Это 1 строка 0 будет 2 строка, а умножить на ц 0 3 строка 0 0 0 нет, не наблюдаем. Вот да, остается только 1 вариант. 4 4 0 И здесь что, ц 4 0? Значит, получается, эта система управляема? Да вот матрицу управляем, здесь 0 ее матрицу справимся, конечно, нет.

42:11 Но зато наблюдаем. Вот вот эта вот штука, да это такой 1 шаг в том, что называется редукция систем. Когда там взяли какую большую большую модель, там ли они резовали, получили матрицу? Система, да вот и да, у нас 80 90 состояние у той матрицы соответственно 1 шаг. Да, это привести ее к чему, то более осязаемой не 80 на 8, чтобы матрица там стояла. Внутри, да ну пусть будет даже 80 на 80, но она будет эта матрица плохая, потому что неудобно будет управлять ей еще что то делать постоянно эти управляемость. Наблюдаемость будут вмешаться в этом, выполняют редукцию систем, выделяют оттуда. Вот эти вот подпространства, которые, с которым ничего не сделать, вот который никакой.

43:02 Нагрузки не несут. Ну и, разумеется, здесь да такое пространство, которое надо выделить и с которым дальше работать, вот оно все остальное выкинуть. То, что все управляемо не управляемо, то, что не управляемо то, что или не наблюдаем. Так и Поговорили с вами про управляемость, наблюдаемость. Хорошо, теперь наконец таки перейдем к назначению полюсов. Сколько там у нас минут осталось на это, а я? О отлично. Так давайте. Теперь, вооружившись вот такими классными вещами, которые.

43:53 Я вам ее восстановлю, к тому же она написана в конспрете вот. Вооружившись такими вещами, как управляемость, наблюдаемость для нас с вами открываются замечательные двери в мир матричных методах системах управления, вот. Соответственно, вот 1 чего можно коснуться уже сейчас, прям быстро, быстро, решительно. Да, это то, что называется, метод назначения полюсов, давайте им и займемся.

44:26 Наконец таки, кстати, занимаемся синтезом регуляторов, сейчас будем с вами выбирать коэффициенты. Лечение. Полюсов. Итак, но сперва мы с вами выберем коэффициенты в достаточно халявном частном случае, вот. Потом это дело вообще, мы станем чуть чуть поприятнее, и так что мы делаем, рассмотрим систему. Вот там икс с точкой, да равно, а икс + б у. Це Икс, + 2 да, да уже поднадоела эта запись, наверное, ну как есть и так. И введем. Введем. Обратную связь.

45:32 Связь по х по вектору состояния, вот вообще говоря, они хорошо по вектору состояния вводить обратную связь. Да потому что у нас, когда мы с какой то системой имеем дело. Да, мы ее состояние не можем взять и получить, да мы можем получить то, что на выходе она. Нам дает, а состояние у нас на выходе как бы идет. Вот, но про это у нас отдельный разговор будет. Поэтому сейчас сперва, пока управляя, будем считать, что у нас есть информация о состоянии, система введем обратную связь по ИКС, то есть что у нас там будет.

46:10 У равно там какое то б она к Икс. В да? Не знаю, ну в Вот. Ну, в это у нас тогда становится какой то вектор управления внешний. Да, то есть у нас еще была у нас, была система. Вот это вот на входе у на выходе Игрик, да у нас система была, вот а теперь у нас на входе в да. Да тут обратная связь. Мы еще вот здесь сделали, К. Вот и мы еще из системы, откуда то изнутри взяли икс, вытащили вот так вот волюнтаристки и. Так вот, здесь у будет здесь соответственно корейский.

47:28 Вот вытащили вектора состояния, да вам нужен какой то вектор коэффициентов, и теперь им управляем. Такую обратную связь сделали и так. Такой вот обратной связи по вектору состояния мы получаем, что мы получаем. Тогда Икс, точка, чему будет равняться, а? - Че там. Б на к да все правильно. Б на к это. Характеристический многочлен. - б на к. Задает. Молится. Новой Системой. Понятно, у нас была матрица, а которая характеристический многочлен, который нам давал полюс системы. А теперь у нас, а ты, Бен, а К.

49:01 После введения обратной связи, и теперь мы хотим выбрать, какой то к такой, чтобы полюса системы были расположены, в каких то заданных точках. Да ну или характеристики, или точнее характеристический многочлен был каким то желаемым, то есть задача.

49:28 Подобть. Так чтобы. А ты, ну, скажем так, детерминант, лямбда е и ты, а + б к. Равнялся хиатлянда, где? Хейт желаемой Характеристический многочлен. Вот и мы сейчас с вами возьмем и найдем решение этой задачи. Док, сперва мы найдем решение этой задач в частном случае. Вот это частный случай, это внезапная каноническая форма управляемости. Решение. Для к Ф. Уф, чем хороша каноническая форма управляемости тем, что, но мы знаем, там много всего равного 0 в матрице. Вот и в матрице б тоже много всего равному 0 прям удобно. Хорошо, мы с вами увидим сейчас то, что это удобство, да, но.

50:50 Дает хороший эффект, итак вот давайте. Рассмотрим, как выглядит вот а ты, БЦ на КЦ. Вот мы взяли систему в канонической форме управляемости. А ц и б ц, да и задали какой то. Как то задали сейчас. Вектор коэффициентов. А точнее задали строку коэффициент какая то строка у нас через на всякий случай. Посмотрите сюда, да помните, у нас размерностью 1 вот х размерности. Значит, к это строка такая 1 на 1 на? Вот соответственно. Столбец Кастрока в произведении дает матрицу н. И так давайте посмотрим, что получается. - * АТ 1 ты, а 2 Соренто 1 0 0 1.

52:20 - 1 0 0 На строчку КЦ 1 КЦ 2 КЦН. Ну смотрите, какая красота получается, перемножив матрицы Боека. Мы вообще говоря, получаем матрицу, который все нули, кроме верхней строчки, которая состоит из коэффициентов. К то есть мы, что имеем, мы имеем. Диск ц 1. 1 0 Осталось, а 2 3 к ц 2. Здесь 0 1 и так далее. Да, конечно, пишу я так себе. Так что так? Все вот смотрите, да матрица, а после вычитания из нее БЦ сохранила свою каноническую форму управляемости.

53:45 Но его пока не было здесь, где Хит желаемый. Характеристический многочлен, то есть мы хотим, какой то характеристический многочлен получить, потому что. же. Ну а сейчас увидеть еще произойдет, так и так. Смотрите, это матрица тоже в канонической форме управляемости, а значит, ее характеристический многочлен написать, но это халява. Ну серьезно, вот он, вот его коэффициент. Вот значит, что мы имеем, мы имеем, что детерминант соответственно. А Ц, так что там лямб Лямбда е и ты, АЦ + б ЦК Ц будет равняться лям де Вент и+.

54:36 А 1 + к Ц. 1 Лямбдавэн.- 1 + + 2 + К ц 2. * * * 3 И так далее. + Амт. МТ без лямки, вот да и это хит, это это хиат лямбда. Осталось теперь отсюда вытащить как нибудь значение, к вот и мы получим прям. Строчку коэффициентов усиления. Вот чтобы вытащить вот отсюда значение к мы сделаем страшное, но прекрасное мы подставим в хи, а точнее, а Ц. Видите, у нас же помните, с вами есть замечательная теорема. Да слышали про такое Гамильтона к или нет, вот хорошо, соответственно, вы видите. Благодаря этой теореме вот здесь, вот у нас здесь виднеется. Характеристический, бывший характеристический многочлен матрицы, а ц вот у лямбда венты. Плюса 1 лямбда в ты 1 так далее, плюса 1 на Лямбдаван ты. 1 Вот он все, что с коэффициентами, а и лям де Венка, это он, соответственно, подставив сюда. Она отце в Хи, мы получим чисто коэффициент и к. Ну потому что все остальное занулится, да умноженное на, а в степени там эн ты, 1 эн ты 2 так далее.

56:19 Значит, хей от акция будет равняться чему? Будет равняться, а 1 на, а ц в степени м и и у, а ц, ты 2 + + не. А конечно же, там к остаются кация 1 + + КЦ, 2 + к Энте пациенты да умножить на них.

56:51 Вот осталось отсюда, как то вытащить это эти к до получить строчку к. Так вот, но здесь уже фокус, как получить из этого строчку к фокус заключается в следующем. КЦ будет равно 0 все нули в конце 0 единичка умножить на хит от отца.

57:18 Вот смотрите, вот это вот верхняя, давайте умножим на 0 0 0 0 1 да вот то, что справа стоит умножаем. На 0 0 0 1 до получаем Чистовка, 0 0 0 0 1 умноженное на к пациенты. Это будет коценты, вот это стоящие, понятно, да соответственно, когда давайте напишу.

57:41 Так как да? Так как 0 0 1 умножить на к ц м е, это будет 0 0 КЦ. 0 0 1 Умножить на К ЦН ты 1 на АЦ это будет 0 0. Нен 1 давайте. 0 Вот обратить внимание, да если мы на отце, например, умножаем. Вот эту строчку из нулей и единички. Да то у нас тут есть где нибудь, а вот она, то тогда вот там, вот внизу. У нас стоит, что у нас стоит 1 0 у нас все нули, а в конце 1 0 и вот это будет единичка. Понятно, да? То есть умножение вот на эту строчку она берет просто нижнюю строчку от, а ц вот эта нижняя строчка будет 0 0 0 1 0. Ну, умножив на КЦ ты 1 получаем здесь стоящий КЦН ты 1 получаем здесь стоящий КЦН ты. 1 Вот умножаем на отце еще раз, будем получать строчку выше, потом еще раз еще выше, еще выше.

59:07 Но вот это вот фокус такой, вот это фокус. Вот как иначе объяснить этот фокус, к сожалению, не знаю. Вот если кто нибудь найдет, обязательно расскажите. Вот и то, что мы получили, вообще говоря, вот это вот это, вот это есть формула. Аккермана. Для канонической формы управляемости, потому что это вообще говоря. Вот эта формула нам сообщает о том, какую строчку коэффициентов усиления брать, если мы хотим характеристический многочлен Хи все. Представляете, как классно вот?

59:53 Но это для канонической формы управляемости до канонической формы управляемости. Она очень простая, да нам то. Желательно в произвольном виде уметь управлять, да не просто в какой то определенной форме. Вот поэтому сейчас давайте обобщим, это делается легко и просто решение в. Для управляемой системы. Управляемой системы. Вот что прекрасно, прекрасно то, что у нас с вами есть вообще говоря. Матрица, с помощью которой можно перейти к канонической форме управляемости, а знать, что есть матрица, с помощью которой мы можем из нее уйти, куда хотим, вот что получается.

1:00:41 Давайте напишем соответственно эти формулы, какие там получаются, а ц это есть у нас, что СЦ ты 1. Наверное, да, а с ц б ц, это СЦ. - 1 Б так да у нас формула перехода, проверьте, пожалуйста, вот. И что еще нам нужно, нам потребуется еще в каце. Так акация у нас будет. Тана с ц вот так, так как. Так как. Что у нас? Икс, это есть с на Икс Ц. Вот. А что у нас, а к ЦКС ц должно равняться к ИКС вот? Похожа, да складывается так, давайте я проверю канай СЦ СЦ, да, да?

1:02:07 И с Ц. Да, у нас имеет определенный вид, но сейчас давайте сперва напишем без определенного вида эссе, просто подставим вот это все в формулу Аккермана. Так что так? Давайте. Вот сюда просто берем, выражаем КЦ АЦ и подставляем, что имеем к равно. К это у нас. КЦ справа, умноженное с целью ты 1. Это будет 0 0 1 умножить, на что найти от. От С это на сцене с 1 акций так и на на СЦ не успеет, да? Вот, но вы когда нибудь брали, многочлены от подобных матриц.

1:03:17 Вообще говоря. СЦ оттуда выносится, вы помните? Да потому, что мы берем вот то, что внутри стоит в какой нибудь степени. Вот, например, если мы возьмем там то, что стоит внутри СЦ она ты 1 а на сцену. Заведем в квадрат, например, что получится, получится сЦ и так с любой степени, в том числе с нулевой, поэтому сцену с 1 сцены можно вытащить просто из под нога члена.

1:03:51 Имеем. Но 1 здесь с ц ты 1 умножить на хи от, а а с пропуском. Вот осталось дать строчку умножить на сцену с 1. Вспоминаем, что такое СЦ, это МЦ умножить на 1, а 1 0 1 0 0 1 а 1, а 2. Да, соответственно, вот здесь теперь нам нужно написать обратную матрицу. Вот от Верхне треугольник обратная матрица от верхней треугольной это какая, а, а? Да, Нет. Это все равно верхний треугольник. Да так и так смотрите, что получаем обратная матрица. Вот к этой она будет иметь достаточно специфичный вид. На диагонали также будет стоять единицы, вот то, что будет стоять вне диагонали. Это что, то она нам, кстати, не важно, что вообще сейчас я.

1:05:20 Да потому что нам от этой матрицы нужна только последняя строка. Мы же умножаем, на 0 0 1 то есть берем из этой матрицы последнюю строку здесь соответственно МЦ в что ты 1 и на хит, а да? Вот ну теперь берем от нее последнюю строку и получаем формулу акермана нормальную формула аккермана. Коэффициент усиления это есть строчка 0 0, 0, 0, в конце 1 умноженное на МЦ ты 1 и нужные махи от А.

1:06:10 Вот прям готовая формула для того, чтобы взять матрицу системы матрицу, управляемости и получить коэффициенты усиления, с которыми нужно управлять. Да, разумеется, чтобы управлять системой, нужно иметь управляемую, да? Внезапно это так согласен с вами, так? Это достаточно знаковый момент, до которого дошли. Я так понимаю, время у нас кончилось? Да вот в следующий раз продолжим, потому что мы с вами пока научились. Только управлять, имея фазовый вектор х, а вообще говоря, управлять. Мы должны был уметь, имея вектор выходов и греки. Вот этому мы будем обучаться в следующий раз.

1:06:59 Спасибо за внимание.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.