Лекция 13 | Теория автоматического управления

0:00 Так приступим, мы с вами изучаем до системы в пространстве состояния в матричном виде. Да вот у нас определенная система из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Да вот вот это все, все они эти уравнения 1 степени.

0:27 Вот и у нас есть сколько то неоднородности, которые входы, да и сколько то линейно сформированных выходов из системы, и так мы с вами изучили. Что такое управляемость этих систем? Да, изучили, что такое наблюдаемость и даже с вами рассмотрели 1 из способов, ну 1 из. До алгоритмов способов алгоритмов синтеза, да это метод назначения полюсов. Вот сейчас мы с вами посмотрим другой. Алгоритм синтеза, который называется линейный квадратичный регулятор.

1:15 Сейчас. А В смысле еще раз. Как то начала назначать, мы не говорили. Мы с вами вообще наблюдатели не писали еще, что такое наблюдатель не писали. Да, но сейчас сперва про линейный квадратичный регулятор поговорим, а потом мы уже будем по наблюдаемости вот. Итак, Давайте приступим. Снова этот солипсизм. Но квадра. Квадратичный. Вот в простонародье ЛКР. Линия квадрата Ригуэйтор. Линейно квадратичный регулятор, и так как значит немного вариционки, вы как за.

2:51 Итак, вообще давайте вот начнем с того, что такое задача линейного квадратичного регулятора задача. Найти. Управление. Уатт для системы. Эти с точкой, а т. равная, а на ИКС от т + б на уатте. Не не Мезирующая. Функцион. Функционал Джей равная 12 Интеграл. 0 На т 1. Там, в 1 очередь, минимизируем орт на уат + х т транспонированная кум х т. ДТ + Икс, т. 1 транспонированная пи 1 икса т 1.

4:29 0 Равный икс 0 задом. А Икс от т 1 равны Икс 1 с 2 в 1. Вот задача найти сейчас сперва сформулировать, найти управление Уатты для системы, для той системы, какая у нас была раньше. Да, ток, просто без выхода мы сейчас с вами пока смотрим обратную связь, все также по вектору состояния, по ИКСУ. Минимизирующая функционал вот такой вот квадратичный функционал здесь функционале матрицы. Ку. И п, и пи 1. Не отрицательно определенные это матрицы квадратичных форм, да соответственно их мы считаем симметричными, вот и они не отрицательно определенные.

5:36 Вот при этом значение состояния в точке. Т 0 известно, в точке т. 1 свободно. Да, то есть задача со свободным концом, у нас есть задача вариационная, с фиксированным концом конечным. Когда нужно из 1 точки перейти в другую, до минимизируя, какой то функционал, а это со свободным концом. То есть, конечно, изначально не вольны? Ну да, с правым свободным концом, скажем так. А начальное значение, да давайте. Потому что мы всегда направление назначали именно на ИКС, прям действовали. То есть какой то корейский, а оно получится таким, поскольку функционал квадратичный из.

6:21 Из условий стационарности вылезет то, что у линейного зависит от Икс. Не мы ее просто ищем от т, как просто какая то функция, т. Да то, что она линейно связана с сексом, да не мы ее от Икс не считаем. Как то завечно, она просто сама по себе атт какая то. Вот такой вот функционал. Что про него, можно сказать, ну здесь вот смотрите стоит? Да вот это вот как большая русская пи, да имеется ввиду пи большой, как произведение. Вот вы пишите вот та же буква, просто у меня почерк такое, мало ли, может, вы неправильно поймете.

7:08 Так ну Ну, давайте минимизируем этот функционал у. У нас что получается, да у нас получается? Неизвестна до функции Х и у при этом учесть ограничения, вот такое функциональное ограничение на них, так? От 2 функций, да вот с таким еще ограничением вот. Вы как множитель лагранжа вы? Вот такие решали, да хорошо, очень хорошо. Тогда, значит, вы меня сейчас поправите, я там ошибусь, паре мест наверняка так я. Ну чего решение? Ну, раз уж заговорили о множителях Лагранжа, давайте напишем, какой получается функционал.

8:01 Введем. Дом. АТ. Это будет у нас, что называется импульсами, а именно множитель лагранжа. То есть здесь множитель лагранжа, у нас эта функция? Да, это вас не смущает, потому что множитель лагранжа функция не просто какая то переменная, а функция не смущает? Ладно, Так п а т. Множительми Вагранжи. Так что так? Каким образом мы их ведем, да мы имеем, что у нас давайте жить с волной. Вот это будет исходный функционал, + интеграл от т 0 до т. 1 п. от т. транспонированная на.

9:02 3 Икс, а + а Икс точка + а Икс, а т + б у, а т. Д т. Вот этот член от множителя лагранж. Ну и вообще говоря, это все, что нам нужно, теперь можем мимимизировать. Ну, давайте минимизируем. Итак, но сперва я перепишу функционал без т. То есть буду мнимо подразумевать то, что у нас функции зависит от т. Да, но я не буду писать, потому что иначе у нас не то, что доски не хватит, а времени не. Хватит вообще даже просто пару раз записать этот функционал 3 1. У транспонированная у + экспонированная у + экспонированная куикс так дальше, что еще, да и + здесь + т транспонированная, икс с точкой + а Икс + б у так.

10:07 Вот это все на ДТ и +, но и там х 1 транспонированная и 1, и кстати. Вот вот он нормально по человечески записан. Тот самый функционал, который мы сейчас будем, от которого мы будем брать до производную. Фрише, по моему да фрише, вот соответственно, вариация. Вариация, как будет выглядит, да проваливать нам нужно по Иксу и по у, ну вот давайте, а? Подождите по Иксу по у еще по п по иксу Паулы по п. Поскольку у нас еще есть множество, но папы мы не будем варьировать, поскольку получается. Чистое уравнение связи, но оно всегда так с множителями. Вот то есть, ну напишем, конечно, ДП на троеточие, но там при вариации ДП получается просто. Вот уравнение системы, да это неинтересно. Ну как, обновится он просто так, сорян? Вот здесь вот двоечка, раз я занес под интеграл, там двоечка вот. Что мы имеем, давайте вариацию Тенольда, т. 1 Ну, от у квадрата там варьировать вообще ничего, там все просто это будет у транспонированная ду.

11:34 Так вот + Ну, от Икс Квадрат тоже. Транспонированная ку д. Икс. Ну вот, здесь пользуемся тем, что к симметричной. От разделения вот таких векторов вот транспланированная. У это утро сканированное д у почему так получается? Но запишите вы сумму квадратов этого у. Получите уд УД, уд, у у и т. д. у и т. получите. И вот они записаны Уиты да Уиты. То же самое с их сами, только с их сами. Да, там будет не просто сумма х этой квадрате, да будет квадратичная форма. Но вы ее про варьируете, получите там, куплю скуд. Транспонированная, это к у транспонированная, но.

12:32 Равнуку, поскольку считаем симметрично, это же квадратичная форма, матрица, квадратичная форма +. Дальше что, а ты, наверное, дальше будет она? П транспонированы д ИКС с точкой. Вот + дальше. Что там? Сейчас. Да п транспонированы, а д. Икс. + П транспонированная б ду. ДТТ. Так а? Ну, там еще есть +. ДП транспонированная ДП транспонированная ДП транспланированная на 3 точки и все ДДТ. Что там, в ДП транспонировано, это неинтересно, потому что это чистое уравнение систем там.

13:46 И + то же самое за значением на правом конце, что там икс 1 транспонированная и 1 д Икс 1. Ушла, да? Должна здесь должна стоять, 18 конечно же, и тут должна стоять, прошу прощения. Это принципиально выводы не поменяет, но поменяет конкретные цифры вот. Так что так? Везде уходит, ну, собственно, для того она там и стоит, чтобы потом она ушла. Так что мы теперь имеем, теперь мы внутренность функционал до разделяем по. различным вариациям по д. Икс и ду только вот надо обратить внимание вот на эту штучку д ИКС с точкой вот этот момент. Да вы помните, следует раскрыть по?

14:50 Это мы по интегрированным по частям, то есть сдвиг заносим под ДТ и потом отогреваем по частям. Вот когда проинтегрируем по частям, получим + п с точкой д ИКС. Но при этом появится еще проинтегрированная по частям смещенное значение на свободном конце.

15:24 Можно можно? Так что так? Значит, что получаем, давайте запишем и потом уточним. Вот транспланированная + 5 транспонированная Д. На Д. У. Да, это кажется все, что стоит перед у, так? Так + Что стоит у нас перед Д ИКС, вот у нас там будет ПС. Точка транспонированная из интегрирования по частям и перед ДКС еще стоят. Экстранспонированная ку транспонированный куб + к транспланированный куб + к транспланированная, а так. Д ИКС + ДП транспонировано на то, что неинтересно.

16:21 Все это ДТ. И + + Эксте транспонированная П. Икс, 1 транспонированная на пи 1. И дополнительный член из интегрирования по частям от этого она 5 транспонирован д Икс Точка. Так что там будет, там будет, наверное, она п. 1 Ну давайте, да, она п 1 транспонированная, надо икс 1. Все вот это, да вот так вот как то так, ну давайте запишем так как. Что у нас там одни п транспонированная д. Икс с точкой да равняется д. ПДТ. А к ним сп транспонированная х и.

17:22 И + - да и +. П с точкой транспонирования берите. Да, Вот, а вот здесь, вот здесь, вот это да, но. Но видите, чуть чуть доски не хватает, вот. Вот и теперь, что мы получаем? А то, что там просто очень выскочила, занята. Вот. С точкой нету занятых грам, потому что там же п транспонировано х д. ПДТ. Д ПДТ от п транспонированный Х. Поэтому значение вот этого в 0 и в единицу, но в 0 у нас. А здесь д Икс стоит из них здесь, д. Икс, смотрю чуть не то есть д ИКС. Вот, но в 0 у нас д Икс, 0 да поэтому остается только д ИКС 1.

18:38 Вот так. Что мы получаем, ну Ну, записываем теперь уравнения, которые у нас получается в стационарной точке. Вот 1 уравнение, вот 2 уравнение, 3 уравнение, просто уравнение системы, да и еще конечные условия. Тем самым получаем, каково решение вообще, да, ну, скажем так, ответ 1. 1 Вот Ну, Вот эти уравнения, да они у нас получились в транспонированном виде. Давайте поэтому их протранспонируем, чтобы получить их в нормальном виде. Ну чтоб там то есть точкой равно чему, то да так получаем.

19:31 Здесь запишу акт, чтобы было четко видно, что от чего зависит мать, б транспонированная на т. Это как выглядит управление? Вот где у нас теперь дифференциальное уравнение, каковы 1 дифференциальное уравнение? Это уравнение просто системы, то есть с точкой равняется, а на Икс т + б на у. А 2 дифференциальное уравнение, это, соответственно, для множества лагранжа. Да, ПС, точка, т равно чему она там получается равно, получается равно, ну, тут ты ку икс.

20:22 Винкс. А не спонированная на прядках. Да, И + пара у нас 2 дифференциальных уравнения, соответственно для них нужно 2 начальных или конечных условий, чтобы иметь четкое решение 1 это Х. От т нулевого давно и к с нулевому, да как и было какое то начальное условие. Так, а 2 условие, вот она. Это соответственно, что у нас будет п т 1 да? Равно. Почему там пи 1 на х т 1? Это, скажем так, конечное условие. Вот она система, которая доставляет минимум функционала, казалось бы, проинтегрирует, что такого.

21:34 Но соответственно здесь дальше, в том, как интегрировать эту систему и зарыта собака, как говорят вот. Зарыта она в том, что начальные условия дано для 1 уравнения вот оконечной для другого. Вот и при этом эти уравнения друг с другом еще перевязаны вообще на самом деле. Вот эти 2 уравнения, строго говоря, на самом деле составляют, что называется Гамильтонова пара. Они друг для друга являются переменными и соответствующими импульсами вот.

22:12 И получается, смотрите, какая штука получается то, что у нас вот здесь, скажем, иксы. Ну просто время для иксов здесь какой то 0. Здесь какой? Вот, скажем так, Тед для иксов. Вот то для импульсов. Для п она, вообще говоря, в обратную сторону это время идет, потому что у нас вот задом п. 1 То есть это, например, мы взяли какой нибудь х нулевое, да его проинтегрировали? Вот сюда. Уравнением систем, да, а? Получив этот Икс, 1 мы можем получить значение п 1.

23:13 Здесь, соответственно, у. У нас. Так ну вот, скажем так, здесь задано условие. Х нулевое здесь за 1 условие то, что п 1 равняется 1 на Икс 1. Вот. В общем, у нас получается ситуация, да что нам нужно как то проинтегрировать, из каких то соображений при. С 1 значения времени на другое, да и потом применить вот это условие или наоборот, применив это условие как то при интегрировать здесь, потом применить значение ИКС 0 вот. Как с этим правильно быть вот?

24:01 Вот давайте посмотрим 1 из методов того, как это можно преобразовать. К какому то 1 уравнению, которое в 1 сторону проинтегрировать все будет хорошо? Не Они должны дать 1 результат, но здесь вообще говоря про единственная задача, единственность решения. Здесь очень скользкий момент зависимости от того, какие у нас функционалы, решение В. Какие матрицы квадратичных форм решение может быть не 1 конкретно здесь? Чуть попозже увидим, когда она будет точно 1 и так.

24:50 Что мы имеем? Давайте сделаем следующий фокус. Решим вот эту задачу, пока не трогая Икс 0. Решим вот эту задачу в параметре от ИКС 1. То есть вот найдем решение, которое будет нам фундаментальное, скажем, решение по различным экспертам. Вот так вот, то есть 1 раз решим для экспертов, 1 0 0 0 2 раз решим для ИКС 101-00-03 раз для уже следующей единицы и так далее, вот и найдя.

25:38 Какие получаются решения, из них уже из этих решений сформируем то, которое будет давать нам нужно ИКС 0? Вот соответственно найдем. Фундаментальное решение. О икс 1. Вот что это значит. Это значит, что мы собираемся решить. Вместо вот таких вот уравнений, которые у нас уравнения для. Функции в столбцах до, грубо говоря, да у нас столбцы, у ИКС мы решим такие же уравнения только для матриц. Что это будет значить сейчас, то есть фи Икс с точкой? От т будет равняться.

26:46 + б Так вот, здесь, вот у нас уже нету. Да давайте вместо вы здесь подставим, а х т винты ты б б транспонированная, т. Так здесь одни б б транспонированная. Вот дальше и ПТ с точкой будет равняться. - Так ты, а транспонированная. П А т. Точка, да? С следующими начальными условиями. Фи Икс. Т 1 будет равен на единичную матрицу с вами, как я записываем. Да ну давайте все пописать! Хорошо, Фитте от т 1 будет равняться соответственно и 1. Хотите сразу матриксу ФСР полностью вычислить? Ну вот же они уравнения для этой матрицы, да, но только.

28:24 Да правильно, да, да, да, это чисто прям ПЦР по ИКС 1 соответственно. Соответственно, если мы хотим получить решение да для экспертов, например, 1 2 3 4 5 и так далее. Да, мы умножаем на 1 2 3 4 5 вот эти вот матрицы и получаем соответствующие, да вот. Так что так? Ну, Давайте теперь сделаем следующее. У нас что, получается, у нас получается? Х т будет запишем, как выражается х и п через вот эти вот матрицы. Как вы назвали фундаментальной системы решений, согласен у?

29:22 У нас будет что. Фи Икс. А т умножить на Икс, 1 а т. п. т. Т. Умножь на Икс 1. Не доходит. Ну вот смотри! Ну вот, смотрите, 1 столбец! Да, 1 Столбец Фи Икс, это решение при к 1 равной 1 0 0 и так далее. 2 Столбец, 0 1 0 0 Да то же самое про Фипе 1 Столбец Фипе, это решение при ИКС 1 равное, 1 0 0 а. 2 Столбец при 0 1 0 икспером, вот вот как раз вопросом получается такое такое. Между этими матрицами принято решение, собственно, решение. Да, так она выражается так дальше, что мы имеем и дальше вот.

30:55 Еще 1 такой момент тонкий, достаточно вообще, строго говоря. Да вот эти вот матрицы фундаментальных решений, по сути, переходные матрицы. Такие, вот и в большинстве случаях их можно смело обращать. Вот потому, что можно перейти по Дефуру, что в 1 сторону, что в другую, вот вот.

31:17 Вот здесь вот с этим обращением есть некоторые тонкости, но мы тем не менее им воспользуемся, смотрите, имея счет сейчас. Это понимаете, это не совсем матрица, значит того, что матрица ПСР всегда можно обращать это не всегда. На самом деле тут есть тонкий момент, особенно в такой постановке. Во 2 это не целиком матрица в СССР, это их части, потому что есть как то есть еще там. Это не совсем переходные матрицы, скажем так, это их части, если смотреть строго. Переходную матрицу у нее еще 2 компоненты есть, у меня есть компоненты перекрестного П ИКС. Вот поэтому здесь вот не совсем переходная матрица, написано это просто те матрицы. ФЦР, которые вы изучали, они прям четко переходные матрицы, потому что они переводят систему из 1 состояния в другое. То здесь не совсем тогда, здесь у нас состояние. Системы строго описывается, да, а мы рассматриваем фундаментально систем решений по х 1 только по 1 части. Поэтому здесь вот есть на отчет некоторые такие тонкие моменты.

32:32 Мы рассматриваем систему вместе с ограничением, просто вот с этим вот так и. Здесь мы сейчас с вами сделаем фантастически классную вещь, мы с вами напишем то, что. Т будет равно, это это будет фи п, а т умножить на. Фи Икс от тменя 1 на х т. Грубо говоря, выразили отсюда Икс, 1 подставлю сюда. Вот чтобы от него избавиться. Нет, не сузили, ну. Обратили матрицу, обратили еще вот вопрос, можно ли обращать матрицу Фи Икс? Это вопрос, то есть это не всегда применимо вот это применимо не всегда. Но мы найдем, рассмотрим в предположении, что это можно сделать.

33:42 Итак, Вот теперь. Обозначим. Вот эту матрицу за матрицу Пи. Та самая матрица, которая и 1 да вот вот там было обозначение. Ты 1 оказывается, что это значение вот этой матрицы просто на конце направо, вот и теперь эту матрицу. Найдем уравнение, точнее, для этой матрицы его можно, оказывается, выписать. Итак, что мы имеем? Что в 1 адресе, что это всегда в случае да пресекты? Строго говоря, мы можем сказать то, что обратно матрица для фейк существует только для определенного интервала до. Ты 1 потому, что в ты 1 она просто единична обратно для нее существует, а? Следовательно, по непрерывности существует и для, и на некотором интервале доты 1. Вот, но доказать, что она существует на всем интервале, 0 дата и 1 мы не можем просто предполагаем, что существует так.

35:02 Производная. Буду писать быстро. Итак, у нас матрица пи, да это фипе на фи Икс и * ПДТ. И п. 2 ф Икс ты 1. Производное произведение 2 матриц да, но вроде должно быть очевидно. Фипе с точкой. На на фикс ты 1. - Фипэ. Феликс, СЫ 1. Икс с точкой Икс ты 1. Очевидно, да. Не знаете, как производную от матрицы в ты 1 искать? Да ну ладно, примечание, тогда примечание. Д. ПДТ от фи Икс на Фи Икс и ПКС 1 должно быть равно 0 отсмотреть. Давайте возьмем производную да от матрицы умножим на нее в ты 1.

36:22 Ну вот. Но у нас матрица функция, если мы берем от нее производную, да каждую функцию просто и все. Вот соответственно. Рассмотрим, да что делать с производной, когда он осматривается? Людей, 1 ну понятное дело, что должно быть какое то обращение, ты там, Икс, точка делить на эксквадрат. Ну потому что производная от единиц на ИКС, вот как то. Вот оно, кстати, получилось здесь, так вот как она получается. Для этого нужно взять единичную матрицу и взять от нее производную также единичная матрица. Мы возьмем от нее производное, получаем фейк с точкой, так?

37:02 На фи Икс ты 1. Так что так? + + что там у нас + фи икс на д. ПДТ от от фи Икс Бустера давно нули, соответственно получаем, что ДПДТ.

37:28 Икс, ты 1 это и есть, ты икс и точкой Икс ты 1. Соответственно, в частном случае, когда она смотрится, 1 на 1 да получается знакомая вам производная это единица на ИКС код. Если у вас матрица функции многих переменных, то дифференциал матрицы, это будет такая же турка, как и ну, то есть также, да? А в чем проблема? Их, наоборот, только больше должно становиться так хорошо. Имеем вот эти вот производную от матрицы в СО для чего мы раскрывали? Мы раскрывали ее для того, чтобы можно было воспользоваться уравнениями. Для соответствующих фундаментальных матриц. Так вот, смотрите, Фейкс с точкой, но потом поставим сперва ФИФА с вот его подставляем да получаем.

38:29 Там что ты, Ку? - - ку. На что там, на фи Икс и умножаем, фикс ты, 1 это просто единица, это Дальше, ты, а транспонированная ты, а транспонированная там, на Фипе, Фи Икс ты 1. - Фипе Икс с 1 теперь на Феникс с точкой. Да что там будет, там будет, а а Фи Икс. + б транспланированная. Феикс ты 1 И похоже, что это все вообще говоря. Смотрите, какая красота, все фиикс и фипе складываются обратно в матрицу. Минуса транспонированная и. - Пи на, а и. + На б б. б. транспонированная.

40:05 Вот оно уравнение для матрицы. Вот у него еще есть начальные условия, правда? Вы не написали пока еще. Фипе на фи Икс ты, 1 да это просто пи 1. Пи ат 1 равняется и 1. Вот но. Что мы имеем здесь, так вот это уравнение. Это вот. Называется дифференциальным матричным. Уравнение. Прикати. У вас было уравнение рекати в дефурах для для скалярных функций, вот она для матричных вот. Здесь Что мы имеем? Сейчас секундочку. Здесь мы должны. Сказать еще 1 немаловажную вещь, мы с вами нашли какую то матрицу Пи, да?

41:46 Вот, но вообще было бы неплохо нам с вами найти. Каково, должно быть, управление то есть как какой, то есть, каков Уатт. Нашли какую то матрицу, которая че то там минимизирует в этом функционале. Да, но у нас нету, собственно, пока еще непосредственно управления, которое бы задавал минимум. Вот давайте его напишем вот. Чему будет равно у нас там с вами было уравнение, там, по моему, ты б транспонированная на п. т. да? Так она выглядела, да проверьте, да хорошо вот, но вот смотрите, осталось только подставить. Вот вот это утверждение, что п а т это пи на Икс, то.

42:41 То есть она б транспонированная на пи авт на икс? Соответственно. Правильный. Алгоритм решения да, но алгоритм решения мы решаем вот это страшное дифференциальное уравнение из квадрат уравнений. Зато с четким конечным условием мы его решаем в начало, да вот и тем самым. Получаем, каковы должны быть коэффициенты обратной связи по ИКСУ соответственно. Если мы хотим, например, конкретное значение ИКС, то мы просто подставляем вот этот уда и интегрируем уже уравнение.

43:40 С точкой равное, ты равная, а на Ака б транспонированная на пи. Да и все, и на х нужно, и все, вот мы все решим, соответственно имеем. Следующую теорему. Ну, по сути, что мы показали? Поскольку мы с вами. Принимали определенные допущения, то существует все существует, то тогда формулируем теорему в таком виде, если существует решение. Вот это вот уравнение река Те, да. Если существует решение уравнение. Так какое там да, ДДТ? Давайте с точкой писточка так равная, что у нас там.

44:43 Найти. Пятте. + у нас там от транспонирования. - Распланированная и ты круто. Скутан спи, а ты 1 равная пи 1. То управление. У, а т. Равная ты б транспонированная, да? На Икс. Минимум функционалу. Да давайте. Конечно. Да, просто правильно спасибо. Слишком много принципа нет, так вот вот такая теоремка. Давайте теперь, ну и, кстати, видите теперь? Да что действительно получается линейная обратная связь по вектору состояния? Равно что то умножить на ИКС доставляет минимум вот это мин.

46:35 Доставляют, просто доставляют минимум, доставляет минимум функционал уже вот соответственно квадратичный функционал линейное управление. Вот давайте задумаемся. Вот это вот страшное уравнение. Его нам надо решать в обратную сторону, то есть с конца интервала. А теперь представьте, что мы возьмем и правый конец отодвинем подальше куда нибудь поближе к бесконечности. Вот то тогда, соответственно, вот это вот начальное условие, оно куда то пропадает, да?

47:11 Да ну конечная, точнее конечные условия, да и начально для вот этого уравнения, вот. Решение для функционала на бесконечном промежутке, вот она, получается, вообще говоря, стационар. То есть получается, что матрица пить тогда не зависит от времени, она просто является. Решением вот этого алгебраического матричного уравнения. Вот мы не будем сейчас с вами доказывать, на это с вами сформулируем как теорему без доказательства теорему. Давайте, наверное, на отдельной доске уже.

48:02 Так что так? Так что так? Лук какой отлично, так? Если Система теперь рассматриваем систему. А б ц? С 0 вместо Д. Управляема. И наблюдаема. Кто? Уравнение. Давайте запишем вот так вот. Вы транспонированную с индексом бесконечность вирус, а транспонированная. Бесконечность, бесконечность, бесконечность на А. МСК. Равный 10000000. Нет. Единственное решение, а А единственное решение давайте запишем. Единственное решение, единственное решение. Стабилизирующая.

50:00 Сейчас, а ты б у нас там как какое было, ты б б транспонированная. И бесконечность. Стабилизирующая. И оно. Вставляет. Минимум функционалу. Отыграл 0 до бесконечности. Так у? Сейчас там у нас. Транспонированный. Сейчас секундочку допишу. Что то длинная теорема получается. Икса транспонированный ц транспонированный ц на икс т. ДТТ. Так что так? У АТ равном ты б б транспонированный, а ты б транспонируете, так? Вроде все написал, так есть ли система, а б Ц.

51:34 Управляем и наблюдаем то уравнение, вот вот это вот называемое алгебраическим уравнение Брикате. Вот это вот дифференциальное уравнение, река те вот это уже алгебраическое тоже здесь нет. Производных то же самое, но без производных вот имеет единственное решение, которое стабилизирует матрицу. Вот эту вот эта матрица, это как вы можете догадаться, да это матрица замкнутой системы, то.

52:06 То есть как бы вот у нас управление соответственно, когда мы им замыкаем, получаем матрицу системы. Да вот это, а ты, БК, вот оно здесь написано, вот. Соответственно. Там вообще вот это алгебраическое уравнение рекатии имеет определенное множество решений, но решение, которое стабилизирует эту матрицу. Оно 1 в в случае, если Абц управляемый наблюдаем. Это значит, что все собственные числа вот этой матрицы находятся в левой пол плоскости вот. Вот.

52:46 И Это решение, оно доставляет минимум вот такому функционалу. С заданным на полу прямой. С таким вот проблем, вот совершенно шикарная теорема, на которой мы, к сожалению, не будем доказывать, да? Да нет, но это продолжение развитие. Вот это частный случай, да, но в каком то смысле, в частных каком то более. Да, да, речь идет про построение регулятора. То есть нам нужно сконструировать какой то регулятор, до который там, например, вот в системах управления люди, которые знают систему правил очень. Любят там маятники всякие перевернутые. Вот нужно сконструировать с тем управлением, которое стабилизирует перевернутый маятник. Но вы берете, пишите функционал, который надо минимизировать вот.

53:48 Там задаете какие нибудь веса, ну вот здесь. Строго говоря, на самом деле и здесь тоже веса можно задать. Если перейти к другим координатам, у вот но мы не стали, то этим заниматься было бы еще больше матриц, вот. Но вы без проблем сами это обобщите, если захотите, так вот. Пишем функционал, находим решение уравнение. Река те, которое доказано, но 1 и есть хорошо известные методы его нахождения практически в любой. Наверное, библиотеке имею в виду вычислительной, которая так или иначе связана с с системами управления, есть.

54:28 Программы подпрограммы, алгоритмы, есть алгоритмы вычисления. Решения алгебраического уравнения ликате, соответственно используете их, получаете пик бесконечность. Вот и вот этот при бесконечности используете для нахождения коэффициентов усиления все вот как бы то есть. Скажем так, вот метод линейно квадратичного регулятора. Да, это в современном мире 1 метод, который использует, когда нужно сконструировать, какой то регулятор. Вот то есть это вот 1 из 1 вообще сейчас, конечно, совсем крутые. Методы есть, да там матричные, всякие бесконечности, все прочее, вот которые дальше вот этого ушли. Но вот этот он значительно проще их в плане теоретической нагрузки, и он имеет вполне конкретные, наглядные свойства.

55:26 Соответственно. Он обладает тот регулятор, который мы получаем, обладает совершенно шикарным свойством. У него классные запасы устойчивости, он гарантирует даже запасы устойчивости, вот, а? А ну допишите, 18 ну какая разница? Ну просто здесь нету членов, которые не 1 (2 поэтому можете писать, 18 можете написать. Да, значение функционала мы не пишем, поэтому, хотя, кстати, оно есть, значение функционала это. Не ну просто значение функционала, это есть икс. Нулевое пи бесконечности коснули вы это значение, функционала получается и в той задаче. Кстати, тоже в предыдущем вот, но там там пи нулевое икс нулевое пи нулевое, икс нулевое пи нулевое.

56:28 Вот получается такое значение, можете сами поупражняться, посчитать вот. Ну или можете открыть какую нибудь книжку там не знаю в. В Брайсоне может быть Брайсон Холл, там есть наверняка. Да наверняка есть есть, да точно есть, даже не наверняка точно есть. Так что так? Итак, давайте теперь напишем гарантирование запасов. Запасов Устойчивости. Давайте рассмотрим системку.

57:47 В принципе замкнутую систему к этим линейный квадратичный регулятор можно описать так. Вот. Замкнутая обратная связь. Ну вот давайте. От этого часть отзовем, как дубль в от С. И так? Надеюсь, понятно, что здесь написано система, которая на выходе выдает чисто свое состояние. Вот это ей это единичная матрица, здесь имеется ввиду прошу. Прощения Прошу прощения. Да, блин! Так что так? Итак, Система выдает на выходе чисто свое состояние. Так, а потом мы это состояние умножаем на коэффициент усиления, до которые получили бы транспонированное пи бесконечность вот на этот и замыкаем.

59:13 То есть, строго говоря, вот это вот это. Сан Ванда, да, да, да, да, да? Отрицательная обратная связь дает нам ты, вот. Давайте теперь напишем. Каков получается частотный отклик? Здесь все на самом деле достаточно, просто в конце мы умножаем. Сейчас и в конце. Как бы это? Анна Б. Сейчас. Не то здесь обратная связь. Б транспонировали. Вроде нормально в транспонированная и бесконечность. И Омега е ты, а ты 1 б. Как вам похоже на правду? Так вот. Мы.

1:01:04 Просто подумали. Вот это частотный отклик системы, соответственно, передаточная функция системы. Какая будет с с на емена, а вода 1 на б? Нет, разомкнута разомкнута у нас же здесь, в пространстве состоянии. Да, мы хотим перейти теперь к передачным функциям. Вот вот это все. Чистота. Частотный отклик мы, мы говорим да про запасы устойчивости. Мы сейчас имеем в виду газограф Найквеста и частотный отклик разомкнутой системы. Хорошо. Понятно, после его рязанки тяжеловато идет, это я понял итак.

1:02:03 Вот записали частотный отклик, и теперь давайте запишем утверждение, ну, скажем так, Теоремка. Вот единица + Вот этот частотный отклик. - 1 б. В квадрате Больше ли бровной единицы? Вот такое чисто алгебраическое утверждение, которое на самом деле для нас сообщает очень много, но для нас сообщает иначе. Что годограф Найквиста системы? Не попадает в единичную окружность. Вокруг точки которыйка единиц. Скажем так, Иначе это. Скажем так, запретная. Область.

1:03:37 Для Гадографа. Найка. Вот смотрите, вот у нас частотный отклик здесь стоит, да мы прибавили к нему единицу, взяли. Модуль, вот от того, что получилось, да и это получилось больше до бревна единиц, но это, да, это определенно мы не попадаем в круг единичный круг вокруг ты единиц. Единичный круг. Нам, соответственно, сообщает кое что о запасах устойчивости. То есть, если вы нарисуете, как определяется запас, то здесь запас по амплитуде получается не меньше. 2 То, что ближайший, где может годограф, накрест пресечь, действительно ось, это ты 2 соответственно. Запас по амплитуде получается не меньше, 2 а запас по фазе получается не меньше 60% - ты то, что ближайшие, где можно пересечь единичную окружность вокруг 0 уже. Да, это будет пересечение духа окружности, они, соответственно, под 60 медка, вот действительно.

1:04:53 Вот соответственно мы имеем гарантии запасов устойчивости. Иначе говоря. Ну или иначе, иначе говоря, вот там. Да, запретная область для годографа Найквиста мы получаем общегоря, что есть мы после линейно. Квадратичным регулятором, то мы сразу получаем гарантию запасов устойчивости. Классно же вообще классно, вот правда показать это уже чуточку.

1:05:28 Сложнее, чем на 1 доске, ну не знаю, может быть, попробуем. Давайте попробуем показать это.

1:05:57 И так доказательство. Берем наше замечательное то самое уравнение рекати для. Для матрицы Пи бесконечность. И сделаем следующее преобразование. Матрицу ку перенесем вправо, вот а слева здесь, где стоят матрицы, а там соберем частотный отклик, сделаем, добавим, вычтем. И Омега на единичную матрицу? Что будем иметь, ну и и Омега на по бесконечной, точнее добавим и почти будем иметь следующий и бесконечность, б транспонированная и бесконечность. - от.

1:06:55 Оттранспонированная +. И Омега. + Бесконечность на Омеге. - А Вот это будет равно ку. Да, похоже, вот видно, да? Но доказывать это утверждение вот это утверждение алгебраическими доказами, то есть вот это алгебраическое утверждение. На самом деле прямо следует из уравнения Река, да и. Вот его сейчас мы и пытаемся доказать. Итак, Куперенесли вправо, а слева добавили и вычли и Омега на пи бесконечность, да тем самым собрав парочку. Частотных откликов вот, а теперь вот это все возьмем и умножим, вот и слева, и справа умножим, а потом еще и прибавим, то есть что мы сделаем.

1:08:13 Мы сделаем следующее. Мы умножим. На на что мы умножим нам б транспонированная пиписька, так и бесконечность. Так что так? Чтобы получить частотные, то отклики на что надо умножить. На ты, а транспонированная и ноге, вот. Вот здесь то, что мы умножаем здесь, умножаем на. Сейчас. Средство. Сейчас нет не на это, наверное, сейчас секундочку. Наверное, следует подсмотреть. Подождите, не записывайте пока то, на что мы умножаем. Потому что мне кажется, что я немножечко ошибся.

1:09:27 Так что так? Ты мой нужен по бесконечности, да ты явно, а ты явно. А ты явно, а ты явно, а вот здесь вот вот. Вот вот смотрите! Выполняем такое действие с уравнением рекать, нам было 1 это уравнение достаточно. Мы теперь его слева умножаем, вот на такие матрицы справа, вот на такие вот она посередине остается. Это уравнение скобочки с точек и потом еще ко всему этому прибавляем 1.

1:10:11 Вот и и внезапно слева складывается вот этот самый квадрат вот. Ну давайте. Что тяжеловато идет, да? Мы и слева, и справа, мы вот это все умножаем слева. Вот на эту матрицу справа вот на эту и прибавляем единицу. Не единственно ко всему прибавляем, сперва умножились и слева, и справа, потом прибавили единицу. Сейчас скажу, не знаю, как это более правильно записать то, что мы делаем. Ну, То есть там у нас вместо точки должна, по идее, стоять ку просто справа получается, да просто ку нужно вот на этой. + 1 Ну вот здесь, Ку, да и все это + 1 вот, а слева получается, сейчас запишем, что вот слева получается.

1:11:14 Слева получается. В транспонированы и бесконечно. Так у нас, кстати, время уходит потихонечку. Запишите там тех, кто пришел, пожалуйста. Пока я выписываю, что там получается, вы можете поставить 3 точки. Очевидно, что написать так, что мы имеем и бесконечность, б транспонированная и бесконечность.

1:11:56 Конечность б классно, да 1 член уже классный есть. + + Что вот эта часть сокращается? Остается. Вот прям вот стоя вот так, да? Нет, зачем не надо это преобразовывать? Так сейчас, что у нас получается у нас получается? Мне не нравится то, что выходит, потому что там, наверное, пи бесконечность, она 1 должно быть здесь. Вот здесь одни, 1 наверное, еще надо подставить вот так вот. Или нет, подождите, нет, нет, нет. Подождите сейчас. Так сейчас секундочку.

1:13:11 Петь бесконечно. А там не должно сокращаться, там просто квадрат должен собираться, а? Нет, должны сокращаться вот эти частотные отклики. Это правильно, это хорошо, так они сокращаются в ты, 1 вот дальше остается вот. Да это все нормально, да вот, но вот здесь вот. Мне не нравится. Так давайте я шпаргалку посмотрю давно, это следовало сделать. А ну отлично, все понятно. Там без пи. Переусложнил немного, прошу прощения. Поэтому и не сокращается, что без пи.

1:14:11 Должно быть, прошу прощения так, что у нас будет Бет транспонированная здесь, так здесь. Просто б вот вот теперь все нормально получается. Да так какое будет 2 слагаемое б транспонирование, умноженное здесь, сократилось дальше и бесконечность дальше и.

1:14:46 * * * + 3 1 на Д. Так дальше что будет следующее слагаемое +? Б транспонированная ты атлас. Здесь не в 1, конечно же. Где она 1 на Что? На пи бесконечность. Так это ушло, остается б здесь, да так и. И + 1 вот то, что получилось слева. Но получается равно, чему б транспонировано. Давайте запишем. Он получается равно, чему б транспонированному, а транспонированному. - 1 ку. + 1 б + 1 Вот. Ну вот, смотрите то, что стоит слева. Вот здесь вот это прям вот на самом деле четко. Вот этот квадрат смотри, ну единица понятно, да теперь индивидуальные компоненты, которые. Будут б транспонировано и бесконечность, нужно вот на это. Да они вот они стоят здесь каждый из линейных членов, вот он стоит, да вот.

1:16:43 А квадрат, то есть вот это вот выражение, умноженное на себя. Сопряженная она прям в самом начале. Не сходится. Да, Правильно говорить б транспонированная, хотя нет б транспонированная пи бесконечность, это п. Нормально, вот просто там там надо, да там нужно. Эрмитного сопряжения взять, поэтому порядок меняется соответственно. Здесь б, которая стоит это б, которая была слева. Да, Ну чтобы, чтобы найти квадрат. Да, да, Чтобы найти, например, сумму квадратов, какого то вектора комплексных чисел соответственно. Эрмита сопряжения этого вектора нужно на себя вот то, что стоит слева, получается. Квадрат, который там написан, а то, что стоит справа, получается единица + квадрат. Вот здесь тоже квадрат стоит, здесь квадратичная форма, то есть ку примененная вектор этих.

1:18:14 Комплексных чисел соответственно ку у нас неотрицательно определенный, да поэтому здесь вот больше либо равно единиц. Оно и раньше стреляло. 2 Сейчас да, наверное, да, но там не кот, там была це це це транспонированная. В смысле, это была матрица в системе, а б ц это 1 из матрицы систем вот такой нетривиальный момент. Наверное, его следует оставлять в качестве самостоятельного упражнения. То, что у меня на доске не получается с 1 раза его изобразить. Так вот, таким образом, мы гарантируем запас устойчивости и про линейно квадратичный регулятор, это все давайте.

1:19:08 Вот давайте еще минут, 5 наверное, уделим вопросу о уже наблюдателях. Вот сейчас мы с вами в прошлый раз мы с вами изучили метод метод назначения полюсов для управления. Правильно, вот в этот раз мы с вами посмотрели. Да что такое линейно квадратичный регулятор?

1:19:36 Регулятор это закон управления да вместе с посчитанными вот этими матрицами. Да, то есть закон управления, у нас линейных, поэтому он линейный. Линейно квадратичный, вот функционал, который минимизируется квадратично, собственно, поэтому квадратично, а регулятор это закон управления, который Х.

1:19:57 У равно. - Что там было б транспонированное пи на на Икс? Да вот все это регулятор, так регулятор, то, что управляет закон управления, вот он да линейный, вот это регулятор, так? Теперь немного про Или в следующий раз дайте нам в следующий раз уже про наблюдателя. Нам еще нужно немного про нелинейность, с кем поговорить. Так это все.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.