Лекция 14 | Теория автоматического управления

0:01 Хорошо, давайте приступим. Мы с вами. Итак, мы с вами рассмотрели. Сейчас возможные. Алгоритмы, подходы, методы назовем их различные 2 различных метода синтеза регуляторов в системах управления. При этом мы рассматривали обратную связь до по полному вектору состояния.

0:45 Итак, Давайте сделаем так, теперь мы собираемся перейти от полного вектора состояния к уже к выходу с тем, то есть будем рассматривать, как нам сконструировать обратную связь по выходу из системы. И так для этого потребуется такая вещь, как наблюдатель.

1:17 Мы будем рассматривать с вами. То, что зовется Наблюдатель Люенбергера. Вот. Суть в чем суть в том, что? Я. Применение. Для применения. С точкой в доме, а а Икс + б.

2:29 Надо иметь. Замену. Икс, то есть вот вот этот х че для применения. Методе синтеза, которые мы с вами изучали к системе с выходом, уже да надо иметь какую то замену ИКС. Да вот этому Икс, который она к Икс, вот и его мы заменим. И теперь мы вектор состояния заменим оценкой вектора состояния, то есть. То есть определение? Датель. Наблюдатель. Для системы Наблюдатель Нуенбергера для системы такой, то да, это другая система, это система. Следующим давайте чуть ниже, здесь, наверное, места маловато, все таки.

4:08 Листочка равняется. Акси + б у +. Эль на Игрек ты это, где это это есть? Акси, ой, секси, секси. + Б у Это вот такая система, где. Кси. Для полки Вот 2 которое есть после этого эти после. Для системы Применения того то к тому, то надо иметь замену. Поменьше шума создавайте, пожалуйста, так, где Акси это у нас оценка вектора состояния Х. Оценка. Вектора. Другами А это это прогноз выхода? Понятно, да смотрите. У нас есть с вами, какая информация у нас есть, с вами информация какой то о, а т. Да и Игрек. Отель там это проходит через систему Абцд.

6:03 Каково значение Х, да, мы не знаем, но мы сейчас с вами используем дополнительную систему. Вот какую то эту, ну какую то вот она. Эта система, чтобы значение этого вектора х оценить исходя из текущих значений у и игрек. Видите, да здесь входами в систему являются и у. Вот Кси ее состояние, это ее выход, но соответственно мы используем именно КСИ, оценка вектора состояния. Ну дальше будем использовать вот. Здесь есть ну матрица Абцд, это такие же матрицы, как в системе до в исходной матрица Эль. Да, это матрица неизвестных коэффициентов, ну. Неизвестно, а просто матрица, коэффициент, в котором можно варьировать, будут разные наблюдатели с разными свойствами Эль, просто матрица.

7:04 Коэффициент. Когда мы рассматриваем систему с 1 входом 1 выходом, как мы это обычно делаем, то Эль получается просто столбцом, вот как к у нас было строчкой, да Эль получается столбцом. Так что так? Ну вопрос, да ну и что с этим теперь наблюдателем делать? Да, то есть нам нужно теперь еще выбрать, какую то матрицу коэффициентов до, чтобы оценить. До каковы получить из этой системы оценку для вектора ИКС, который КСИ, чтобы получить и с ним, и по нему уже можно было бы как то управлять вот, но?

7:48 Чтобы это понять, давайте запишем. Действие этой системы в следующих терминах. Так примем. Как Икс, это ты ксерты. Так ошибка оценки. Вот взяли е ошибку оценки или ошибка наблюдения вот. Тогда что? Вычтем из их с точкой равной, а Икс, ну сперва, наверное, даже. Давайте да язык в точке равных, а Икс + б у вычтен Кси с точкой равные Окси + б у + эль на это. И получим уравнение для е для ошибки наблюдения. Здесь здесь надо что то сделать с Игрек ты. Это да потому, что у нас Икс Икс и переходят в Е. В ошибка наблюдения просто уходит, а с и этой. Да, надо что то сделать, а игры к лету также. Оценим из разницы, возьмем выражение для Игрик Винсента также из уравнений. Ну, собственно, для Игрик и для это так, для Игрик. Уравнение Ц ИКС + д у, а для этого уравнения Сикси + бу.

9:44 Разница между ними получается, что Игрек ты это равно с на Икс и Ноги. То есть ошибка прогноза выхода, да это просто матрицы, умноженное на ошибку наблюдения вектора состояния. Ну, вполне себе, наверное, логично, поскольку у нас тут все такое линейное. Да что то такое должно получаться так? А теперь рассмотрим, что получается, какое получается дифференциальное уравнение для ошибки прогноза для ошибки оценки, для ошибки оценки.

10:24 Так у нас, получается, нас получается, а ты цель ноге? Вот такая штука, то есть вообще говоря, да? Мы можем вот этой ошибки. Оценки задать вполне конкретные свойства. Да, например, вот метод назначения полюсов у нас был для. Обратной связи. По вектору состояния здесь получается то же самое, да, то есть, вспоминаем, сравниваем. С точкой равная, а она б к и ц там вот так вот было. Вот у нас было, а она БК, где к было неизвестной строчкой. А теперь у нас Амину сельце, где Эль неизвестный столбец, вот.

11:31 И чтобы задать? Нужные полюс, ну желаемые полюсы нашей системе. Да, нам теперь нужно работать аминосальце, но это достаточно тривиально. Просто можем взять этот Амину с. Лица транспонировать да применить ту же формулу акермана, которая у нас была дать для вектора к для экспорта, для вектора коэффициентов к и получить.

11:56 Для вектора коэффициентов Эль тоже значения, которые размещают. Полисы замкну полисы наблюдателя уже в желаемых точках вот таким образом. Имеем. Давайте теорема. Значит, Эль равная. Что у нас там получается, у нас в конце было так слева было, когда мы транспонируем будет. В конце 0 0 1 а в начале будет. Сейчас, сейчас сейчас, сейчас, какая получится, формула там будет. Много. 0 1 Здесь будет. А Здесь мойов 1 Вот значит эль равная тому, то да. Размещает.

13:40 Полюсы. Давайте наблюдателя Луенбергера. Гера. В корнях И от лямбов, где? Мо, да это матрица наблюдаемости. На где у матрицы? Наблюдаемости. Итак, Эль Равнда? Да, да только в конце все нули нули и потом, ты 1 в конце. То есть это формула аккерманы, да только транспонированная? Ну, матрица, разумеется, транспонированная обратно. Да, МЦ меняем на эмо, потому что при транспонировании систем, да мы меняем местами ц и б, да вот вот. Так да, Эль, такое то размещает полюса наблюдателя Лундбергера в корнях хиатлян, где ему матрица наблюдаемости.

15:03 Но Эмо, соответственно, состоит да из строчек ц, ЦА, квадрат и так далее, Ца ты 1. Я вот здесь напишу, что Сэмпо. Это це це, а? И вдаль от се, а в Степни. Таким образом, вы можете теперь полюса наблюдателя разместить, в каких желаете точках и тем самым получить наблюдатели, до которые по входу и выходу. Системы будет оценивать то, каково состояние этой системы, каков вектор состояния? Ну вот, давайте теперь зададимся вопросом, как нам теперь вот наблюдателя, да и регулятор совместить, да так, чтобы они друг другу, грубо говоря, не мешали.

16:06 Оказывается, что самый очевидный способ их совместить. Он приводит к тому, что они действительно друг другу мешать не будут, так? Давайте как нибудь это разогналим. Давайте напишем так разделение, задача управления напишем, так? Задачи. Отправление. Так что так? Берем систему ту же, которая была икс точкой ровно, а Икс + б. Давайте у да напишем, у Игрек Равна стоит + 2. Это система. Да, ну объект, объект, объект регулирования, которым мы хотим управлять.

17:28 Так к этому объекту ставим рядом наблюдатели. Чтобы у нас было что то на замену Иксу с точкой. Такси. + Бу. + Так что так? Так это есть секси? Вот наблюдатель, я помечу наблюдать. Выглядатель. Так я осталось добавить только регулятор, тот самый, который системой управляет. Все говоря, по какому заданному входу даже заставлять систему это задний вход отрабатывать, так вот это будет. Нечто очевидное достаточно в ты, К. Это регулятор. То есть, если раньше у нас убыло в случае, когда мы исследовали обратную связь по вектору состояния, у нас было в СВО к ИКС. Дата теперь Икс, мы не знаем, да теперь мы знаем только.

18:57 Вход в систему У и выход Игрик, и из этих входов и выходов пытаемся. Вот что то соорудить такое с помощью наблюдателей регулятора, чтобы воспользоваться этими методами, так? Регулятор, это я уравнение вот это называю регулятором. То, что вход в систему мы задаем, как в какой то вход в общую систему. Да вот, ты к да это вы, если не очевидно. - как сильно. Мо матрица наблюдаемости, вот она. Так ну вот выписали мы всю эту систему наверняка в уравнениях, так не очень понятно, что к чему. Давайте коротенький рисунок, может быть, с ним будет более понятно.

20:00 У нас есть. Регулятор у У нас есть. Директ. У нас есть. Наблюдатель. Здесь регулятор выдает. Который мы, кстати, также отдаем в наблюдатели на выходе, имеет Игрик. Наблюдатель выдает Кси. Вот укрупненная система вся целиком имеет следующий вид, да? Здесь у нас что происходит? Это, собственно, сконструированный нами с помощью наблюдателей регулятора сигнала управления объектом. А вы это задающий сигнал, откуда то снаружи. Вот нам говорят, что нужно отработать такой. Вот мы, вот мы его стараемся отработать, вот я.

21:25 Что здесь? Важно сказать, здесь важно сказать да то, что вот регулятор, да у нас используют, собственно, оценку вектора состояния. Ксиль, для чего наблюдателя был здесь, сконструирован так, ну вот. Давайте теперь посмотрим, в чем заключается собственное разделение у. У нас записаны с вами. Уравнение движения системы целиком. Давайте их немножко перепишем. И удивимся. Здесь у нас дифференциальных уравнений скок. Ну да, грубо говоря, 2 н да, то есть у нас н в состоянии сходной системы, н состояние наблюдателя, да и вот у нас 2 н дифуров нам соответственно. Нужно как то записать 2 Эндифров, чтобы что то с ними интересно увидеть. Вот давайте эти 2 эндифуров запишем относительно 2 следующих параметров.

22:49 Запишем, пишем, уравнение для. Для Неравная икс. - Кси. Для ошибки наблюдения. Запишем уравнение состояния и для того непосредственно. Оценки вектора Так что так? Оценки вектора состояния 1 из этих уравнений мы знаем, как записать мы из. Вычитаем ксис точкой, да? И что получаем из Из получаем е с точкой равно, а ты с. На е. Вот, а 2 уравнение, вот она да уже записано только здесь, разве что Игрик ты. Это надо подставить до, который мы с вами знаем, что это цена и и так имеем.

23:57 Все с точкой равно. Сейчас там говорят, что у нас игрек. + Эль ц на е и +. А только не был, да? Б б. ты, как си вот. Вот вот так. И теперь записываю это в 1 единой системе. Будем иметь. Здесь Эль Ц здесь, здесь, 0 здесь, а она в кольце. Здесь 7 На Икс. + Кси б 0 на В. Смотрите, какая замечательная сетям получается, получается, что матрица системы. Имеет блочно диагональную структуру. А значит, что характеристический многочлен для этой системы он будет к произведениям характеристических многочленов этих 2 матриц, вот и соответственно полиса системы будут.

25:51 Состоять из корней характеристических многочленов этой матрицы и этой. Вот и как вы, и как вы видите, мы синтезировать можем теперь отдельно, к и эль не синтезируя к. Выбирая его значения, назначая, какие то полюсы, мы можем не обращать сперва внимание на наблюдателя, а потом то, что сам про наблюдатель. Не обращаю внимание на регулятор, до синтезирует значение Эль до, которая выставляет нужное. Полюсу у наблюдателя получить уже потом в итоге. Всю систему целиком.

26:35 И так здесь блочным. Диагональная. Структура. Конечно е. Конечно, точно е, а не Икс, так блочно диагональная структура. Следовательно, Полюсы системы. Состоят из корней. Быка. И а минусы рецепт? Вот. Таким образом, с помощью метода назначения полюсов вы можете провести полный цикл синтеза регулятора для систем. То же самое на самом деле можно сделать с помощью линейного квадратичного регулятора. Вот как у нас для Формулы Аккермана есть. Формула Аккермана для регулятора и для наблюдателя то же самое есть и в случае с линейным квадратичным регулятором только уже линейно. Квадратичный наблюдатель, так называемый он обычно называется по другому, его обычно называют фильтр Калмана. Вот ну с ним мы с вами познакомимся. Наверное, в следующем семестре, надеюсь, мы с вами успеем это сделать. Вот и там тоже справедливо, это же разделение, вот там тоже можно отдельно. Синтезировать наблюдателей, фильтр Калмана и отдельно синтезировать регулятор, который мы уже видели с вами линейный квадратичный регулятор, так?

28:33 У нас последовало, что полюсы системы. Когда мы собрали, мы же у нас с вами, мы отдельно изучали регулирование до с помощью вектора состояния с помощью обратной связи. По полному вектору состояния она ка Икс у нас. Здесь было, да теперь у нас она как си где. Кси, это еще какая, то там система, да и теперь вот вопрос. Мы, сконструировав систему, 1 сконструировав коэффициента одни выбрав, выбрав. Коэффициенты другие до после того, как мы все вот это таким образом соединили. Не получится ли, что у нас будут полюса вообще не те, которые мы ожидали, вот здесь нет не получится? У нас будут ровно те пользователи, то есть те полисы, которые были у регулятора, они сохраняются. А ты, БК, остаются и те полисы, которые были наблюдатели, а минусы тоже остаются.

29:23 В этом заключается вообще собственное разделение. Задача управления мы эту задачу разделяем на 2 части 1 синтез регулятора, другая синтез наблюдателя мы. Можем их проводить отдельно, не все вместе сразу, так? Но здесь давайте сделаем пятиминутный перерыв и потом приступим к завершающей теме нашего семестра.

29:48 Так ну что давайте продолжим, так у нас с вами сейчас тема будет вообще из другой оперы совсем. Не все еще про теорию управления. Но совсем не про метод в пространстве состояния. Метод гармонической линии Аризации мы сейчас с вами весь семестр занимались линейными системами. Вот которые мы в начале семестра получили, взяв 1 приближение у какой то системы в ее положении равновесия. И вот это 1 приближение, по сути, мы весь семестр гоняли. Так получается, что не всегда можно.

30:38 Более менее хорошо получить 1 приближение. Вот есть такие существенные нелинейности, у которых 1 приближение имеет динамика совсем не ту, которая. Имеет эти самые системы или звенья, эти самые звенья? Вот вот, давайте посмотрим на то на парочку примеров от таких существенных нелинейность.

31:23 Я их зарисую в виде графиков. Вот вот, давайте сперва посмотрим на так называемый однозначно. Однозначные. Как бы нам побольше, лучше побольше. Здесь на вход подали на выходе, взяли Игрик. Вот, например, такое звено на вход подали, у на выходе взяли Игрик, это звено всегда сопоставляет в соответствии с этим графиком. Такое звено называется мертвая зона.

32:40 Поскольку в некотором диапазоне входных значений на выходе просто 0. Да, когда мы выходим за этот диапазон, ну она это значение, а этот порог отрезает. Вот. В некотором смысле дополнительное к этому звену звено, так называемое насыщение звено насыщения. Вы можете даже догадаться, как она выглядит. Она, наоборот, отрезает большие значения. Это звено насыщения. Ну, вы понимаете, да что если мы возьмем положение равновесия, то есть вход там, 0 да и возьмем по Тейлор приближение, чем мы получим здесь, мы все получим. 0 Да, а на самом деле звено, то не нулевой она обладает какой то динамикой.

33:46 Поэтому такие звенья они называются существенными линиями и так. Ну и есть еще такой пример. Здесь нарисуй его поменьше, там много рисовать не надо, здесь игрек. Вот. Вот хорошо вам знакомый Сигнум, да ну его называют реле. Ну кто же в зависимости от знака входа его переключают то на + то на? - Здесь ум, здесь умник, это реле.

34:51 Так, а есть нелинейности неоднозначных, которые на каком конкретном значении? Да, на выходе да это конкретно зачем, но могут некоторые разные величины давать на выходе, но давайте неоднозначно.

35:14 Так что так? Неоднозначную. Например, такая вот вещь.

35:48 Вот так вот, например, это реле с Гистерезисом или Гистерезисом, как правильно. Или, например, есть такая вещь, как люфт? Но как его схематично изобразить это вопрос? Я изображу как нибудь вот так. Там, где то Игрек там, где то. Игрек там, где то вот люфт. Но все пользуются водопроводными краранами, все хорошо знают на практике. Что такое люфт, поэтому не буду пытаться изобразить как то более конкретно, так? А когда мы круглые возрастаем не ну люфт?

37:05 В 1 сторону крутили, крутили, остановились. Начинаем крутить в другую сторону и какая и какая часть до прокручивается без эффекта на выходе, то. Есть, вот он стоит вот на этом значении, вот обратно крутим, а на выходе ничего не меняется. И только потом, спустя какое то время начинает меняться.

37:28 Так что так? Вот такие нелинейности, вот давайте нарисуем пример того, как эти, как парочка из этих нелинейности действует. Метод гармонической лионеризации это метод частотный, поэтому мы рассматриваем гармонические сигналы. Вот соответственно подадим синусоиду на вход. Вот парочки звеньев, которые здесь были нарисованы. Отель. Давайте что, не знаю вот так, наверное, вот так. Что то типа синусоиды взяли? И подадим на вход. В К мертвой зоне. Что мы получим на выходе?

38:54 Вот здесь. Ну, на выходе получим тот же Синус, да только подрезаны немного, как он был подрезан, хотя какие то значения. В районе 0 станут на выходе, 0 а остальные уменьшится и по модулю уменьшится. Что такое получится схематично вот? Вот или если подадим. На вход. Замену насыщения. Что получится? Тоже получится, Синус, да тоже подрезанный, но только по другому теперь шапки. То есть в районе 0? В районе 0 точно так же, как и было просто Синус. По достижению насыщения.

40:25 Значение отрезается. Вот вот, смотрите, звеня, которые я вот вам привел. В качестве примера они все давайте, скажем так, пример. Все вот эти звенья они имеют, обладают определенным свойством о том, что вообще говоря, у них практически нет никакого внутреннего состояния. Но вот с люфтом тут, конечно, можно немножко поспорить. С этим тезисом, но так или нет, иначе у них нет внутренней динамики. Какой то да, то есть им, что на вход подали, тут же они выдают, что то на выходе. Вот прям по значению, по текущему, да то.

41:12 Редко, когда, пользуясь историей входящего сигнала, так вот. Что получается, если мы на вход такому звену, у которого нет никакого своего внутреннего состояния? По сути, подадим гармонический сигнал, да то на выходе мы получаем, ну не гармонический. Конечно, сигнал, но вообще говоря, мы получаем сигнал периодически. Вот и период его такой же, как у сигнал, который был до этого. Вот а чего хорошего в периодическом сигнале? Да, мы можем его разложить в ряд курьер.

41:59 Периодически сигнал состоит из счетного числа хорошо известных гармоник. Вот соответственно разложим. Привет! Уатт равная, а там Синус. МДТ. Игры КТ в ряд. Курьер. Вот у нас был этот вот т равная, а Симус Омега к. Его подали на вход. Скажем, у кусточкой. На выходе получили игры как то. Фи, это как раз некоторое нелинейное звено. Ну, запишем так, что типа от у и у с точкой. Не строго, но как есть вот. И Игрик от т, получается, будет равен чему. Ну готов ли это, а нулевое пополам + сумма от, а от Амт Косинус МТ +?

43:39 Н Омега, прошу прощения, Косинус, Косинус, М. Омега, т. + БМТ, Синус Мега 3.

44:00 И теперь, чтобы это звено ли не арендовать кто нибудь догадается, что мы сделаем с этим рядом? Оставим только до 1 члены, оставим Синуса Амигт и Косинус Амиго т, а вот остальные члены выкинем. И тем самым будем рассматривать. Такую линеризацию звена. Нет 1. Нет 1 приближение. Косинус Омега т возьмем, итак Игрек линейная. Это есть, а нулевой пополам, + а 1 Косинус Амиготе. + Я 1 Синус Омега, т. Вот давайте запишем формулы для 0, а 1 и б 1. Они в методе гармонической их в методе гармонической лионелизации принято записывать достаточно.

45:18 Странным образом так значит, а 0 обозначается, как ты со звездой. По Паландеру назначается как раз и со звездой, это что у нас? Единица на 2 пи. Тентеграл от 0 до 2 пин от фи. Синус Мне Омега то теперь взяли где. Это Мега, т. Вместо этого рассматриваем просто фазу в качестве аргумента. Дальше. Вот это вот есть у нас ку. Так это не ку не не не не ку, это будет ку, это будет б 1. Есть. Там единица на 2. Что там будет? На Синус Си Депси только. Что у нас здесь будет?

47:11 Сейчас там, наверное, надо подправить, а делительная, а, наверное. Так сейчас шпаргалку загляни. Единиц делить на пи, а да. Разделить на 3 а вот и. И 3 коэффициент Куштрих равное. Нет, а 7 7 открой 7 7? Вот причем эти коэффициенты? Не зависит, вообще говоря, от амплитуды. Входного сигнала. Вот они не зависит от частоты входного сигнала. Да, поскольку мы рассматриваем с вами как раз такие звенья, у которых никакого нет внутреннего состояния, там никаких производных не. Берется, да нет, ничего не интегрируется, поэтому так получается, что от частоты с какой скоростью мы подаем те или иные сигналы. Выход не зависит, а вот от амплитуды выход зависит.

48:50 И так когда Сейчас у. Здесь и. Реализованная здесь Игрек линейный. Это линия реализации. Реализация фильм. Фильм. Где? Где Фи Эльта это будет? Пицца Звездой + Что у нас там будет? Коштрих, зеленая омега с точкой. Вот так. Странноватая такая запись. Поскольку мы сигнал взяли у как Синус, да теперь пытаемся во что то обобщить, вот мы обобщаем. Вот этот у да на тот случай, когда у гармонически не просто какой то Синус. Текущий, а Синус Косинус или экспонента, там я мега, т. вот и так далее, не реализованное звено. Вот эти 1 3 члена, которые мы рассматривали, будет выглядеть следующим образом.

50:24 Вот здесь. Здесь, наверное, даже здесь ку, а здесь. Что будет здесь будет штрих, а вот так вот. Вот такая достаточно странноватая запись, но она. Эта запись сейчас увидим, для чего она нужна. Она нужна для того, чтобы нормально записать. Частотную характеристику звеньев и так так вот выглядит. Линеризация звена, где ФИК Куку Штрих мы задали, но следует сказать. Следующий момент то, что Мы, вообще говоря, будем иметь в виду большие звенья, которые, что называется, нечетные, у которых характеристика, которую мы нарисовали. Да она нечетная и для них фи со звездой.

51:33 Равно 0. Скажем так, для звеньев. Сони ничего ты. Характеристика. Подайте на вход, до какой то нечетной характеристики Синус. Да он что, сверху что снизу будет вести себя симметрично, поэтому интеграл по 2 пи, да будет правильно. Так и еще важный момент то, что Куштрих будет равно 0 для. Однозначных звеньев. То есть вот, например, для звена насыщения или для мертвой зоны? Ку штрих будет обнуляться, а вот для. Звена, например, реле с Гистерезисом, да там Куштырь будет не нулевой, так?

52:43 И Рассмотрим. Смотрим. Далее. Чисто звездой равный 0 найдем. Частотный отклик. Ну вот, смотрите, частотный отклик, это у нас что? Да, это мы на вклад подаем экспонентов и Омега, т. Смотрим, каково отношение? Выхода ко входу при этом получается, то есть на какой коэффициент, на какую комплексную амплитуду умножает звено? Ту самую гармонику, которую мы подали, но здесь это будет вообще очевидно, да потому что мы взяли. Вместо у экспоненту я омега т здесь будет куна экспонента Омега. Ты здесь будет экспонента Омега, ты умноженное на и Омега, которая с ну сами, разумеется, сократится до останется и кус кустырих, просто имеем.

53:57 Что частотный отклик нелинейного звена вот в методе гармонической линей резакции? Это есть скул от, а + и на ку штрих от А. Собственно, потому эти ку и ку штрих были так странно записаны, чтобы получить их в качестве компонента частотный отклик. Так что так? Вот смотрите, у нас получилась ситуация вообще ровно противоположная, чем со змиями линейными, которые мы до этого рассматривали. Там у нас частотный отклик не зависел от амплитуды из за входного сигнала и зависел от его частоты. Здесь вообще с точностью наоборот, здесь получается, что частотный отклик зависит от амплитуды и не зависит никак вообще от частоты.

54:53 Это как бы дополнение к тому, что мы уже имеем. Таким образом. Можно. Скажем так, используя этот частотный отклик до исследовать различное поведение нелинейных систем и вот 1 из приближенных методов, основанный на методе гармонической. Это Поиск. Автоколебательных режимов в нелинейных системах. Давайте сделаем так автоколебания. Автоколебания вообще говорят, что такое автоколебания. Автоколебания это. Строго формально определить, наверное, такое понятие не получится, но назовем его так автоколебания.

56:22 Это Установившиеся. Это собственное установившееся периодическое движение системы нелинейная система. Установившаяся. Движение нелинейных систем. Ну вот, смотрите, давайте такой пример зарисуем. Из него будет многое понятно. Так возьмем Реле. Соединим его с интегралом все это замкнем отрицательной обратной связи. Вот какое будет движение такой системы, она вообще достаточно тривиально. Вот предположим, что начали не в 0, а в какой то точке была какая то точка.

57:49 Что будет происходить, но там у у нас там было значение при объединится как. С этой единицей Давайте, Икс, здесь напишем здесь Икс. Или Игрик? Вот пусть Интеграл был в нулевом положении, а здесь на выходе была единица. Да тогда что будет тогда до единицы? Пока интегрирует. Мы растем. Потом. Будем уменьшаться, тут снова будем расти, снова уменьшаться, снова расти, снова уменьшаться.

58:55 Наверное, Так нехорошо, давайте лучше здесь мертвую зону поставить. Немножко ошибся вот с мертвой зоной. Реле с мертвой зоны так вот лучше будет. Да, Вот. Пока мы находимся на 1 ветви. Реле или нет, блин, я неправильно говорю, извините. 3 Вариант себя Вот да так вот так вот, да с Гистеринсом пусть будет. Пока мы находимся на 1 ветви. Интеграл нарастает в 1 сторону, например, на положительный, да Интеграл растет в положительную сторону, а потом, когда.

59:50 Мы дошли до момента переключения вот на входе. Здесь уже будет отрицательное, какое то значение достаточно большое, чтобы по. Переключиться на другую ветвь, тогда реле переключается, да и интегрировать в другую сторону, вот будет такой вот режим. Вот вот такого то подобного характер режима они называются автоколебания. Но, скажем так, автоколебания, да это такая характерная вещь для нелинейных систем. Так что так? Например. Можно встретить с автопилотами часто случается такая вещь, что не часто много автопилотов на самолетах. Они имеют автоколебательный режим, то есть вот на эшелоне, да это.

1:00:53 Самолет летит с некоторым, ну там сбалансирован с определенной высотой. И какое то небольшое возмущение до приводит к тому, что он там отклоняется, начинает чуть чуть высота меняться и. Автопилот реагирует только спустя какой то порог, когда там высота изменится, например там на 10 м. Вот и вот он летит, меняете 10 м туда сюда постоянно, да чуть чуть варьируя, как это там.

1:01:21 Угол пангажа атаки, скорость, ну и остальные параметры вот. Такие не знаю, может, вы встречали. Как то двери в супермаркетах, до которые друг друга открывают, закрывают постоянно, да одни закрываются дверь, открываются другие. Вот так вот тоже такой характерный автоколебательный режим, который в жизни можно встретить нередко вот, но вот в.

1:01:53 Нашем курсе теории управления мы рассмотрим. Метод нахождения автоколебательных режимов с помощью метода гармонической лионелизации. Но это достаточно просто, на самом деле делается, потому что у нас есть. Уже такая вещь, как частотный отклик вот этого звена, да у нас есть частотный отклик вот этого звена. Да, остается их только замкнуть и написать условия того, что.

1:02:21 Система находится в установившемся режиме, что имеется в виду, вот пусть. На вход. Нелинейное звено пошло, да потом пошла на линейную. На зиму потом замкнулась. Что мы имеем, мы имеем, что вот здесь до сигнал будет иметь значение, а? Здесь будет иметь значение. Эксперименты и Экспоненты и недотермы. И на входе подаем 0 смотрим собственное движение системы. Имеем, что имеем, что значение на выходе должно быть равно ты значению на входе, то есть. А на дубль в линейный, вот Омега.

1:03:51 Условия. Автоколебаний Она уравнение для поиска автоколебательного режима, поскольку это уравнение да для комплектных чисел здесь 2 уравнения. В плане для действительных. И 2 неизвестных значения, а и Омега, то есть там плиту автоколебательного режима и частота его. Вот. Соответственно, этого уравнения достаточно для того, чтобы найти. Кандидаты на прихлебательный режим. Мы можем записывать. Других обозначений и тому подобных. Вот. Соответственно решив, да это уравнение вы найдете сколько то возможных решений для.

1:05:00 Автоколебаний, но не. Не все эти решения они будут устойчивыми автоколебаниями, то есть автоколебания они тоже могут иметь. Неустойчивый характер, то есть этот режим он может от небольших возмущений, да это система от небольших возмущений с режима может уходить. Поэтому вообще говоря, следует еще рассматривать такую вещь, как устойчивость этих режимов и вот давайте запишем. Как это можно проанализировать?

1:05:51 Итак, О, от А и Омега, с и от В. И. Омега, это уравнение. Автоколебания Вот. Да, Ну потому что, чтобы система была в установившемся собственном вот этом колебательном режиме, без каких либо. С 0 на входе то нужно, чтобы выход с этой системы получался равен, а на экспонента и Омега Т. + А на экспонент, ну то есть мы предполагаем, что вот здесь вот на входе к этому звену приходит, а на экспоненты и амиго т из за этого получаем, что вот здесь, на выходе. Так и чтобы эта система находилась вот в этом автомобиле, чтобы это значение на выходе было равно не назначено на входе. Тогда получается, что просто произведение этих?

1:07:03 Частотных откликов, да нужно было равно, Так что так? И таким образом мы имеем уравнение для автоколебания, теперь рассмотрим. Да пусть у нас есть решение какое то этого уравнения и рассмотрим, как можно определить, устойчивое ли это решение.

1:07:35 Омега со Звездой решение. Тогда рассмотрим. Рассмотрим возмущение автоколебательного режима, то есть. Режим. То есть вот на вход мне линейному звену подадим не, а со звездой экспонента и Омега со звездой ТД, а подадим некоторые возмущенные, то есть, а со звездой. На экспоненту и Омега со звезды + Дельта Омега Т. Вот, но это еще не все. Когда мы возмутим, а со звездой Омега со звездой появится еще 1 экспоненциальный член, появится КСИ, т. То есть в экспоненте еще она кси т.

1:08:53 Вот остается найти, какого будет решение такого уравнения в возмущениях. + Дельта Омега. Мегов тут что +? Со звезды Дельта, а? На Мега со звезды с дыркой Омега +. Обратите внимание, там Икси. Вот. Но запишем возмущение. Что получится? Будем иметь д у Шкода. А Вот это. А как было по 2? + Омега. + Икси. + 2 Ну что? Вот смотрите, у нас был какой то колебательный режим, до который вот подчиняется уравнению у + и в дай равная 0 соответствующие значения, а и Омега были. А со звездой Амексио звездой теперь мы, а со Звездой Омега, со звездой. Немного возмутили, но так, чтобы это все еще был какой то 1 из возможных режимов системы, то есть, чтобы этому же уравнению они подчинялись. Да, для этого мы добавили в экспоненту дополнительный член, который будет либо.

1:11:22 Возмущение уменьшать, либо наоборот, это возмущение увеличивать в зависимости от того, какой будет знак КСИ, вот и теперь соответственно найдем, как связаны. Дельта Икси, смотрите, что получается. Мы взяли какой то автомат, отогревательный режим и взяли, например, увеличили его амплитуду, то есть чуть раскачали посильнее систему, чтобы автоколебательный режим. Был устойчив, эта система должна вернуться к предыдущему значению амплитуды, то есть уменьшить его. В таком случае КСИ должен быть положительным, чтобы вот здесь, в экспоненте, возникал затухающий член, а?

1:12:08 Если наоборот. Амплитуду автоколебания уменьшить. Если амплитуду автоколебания уменьшить, то наоборот, Кси должен оказываться отрицательным, чтобы экспонент вот здесь. Нарастающая она увеличила амплитуду автоколебания обратно. Что, рассмотрев отдельное уравнение Дельта? Дельта + Что там д у д. л. вот это. Мега. - Мега накси равно 0. Сейчас Деуподэкси. Таксиня + 2 + 2 + В ПД где нибудь витамин? Вот из 2 этих уравнений возмущения исходного режима теперь вырезаем.

1:13:27 Дельта, а через точнек Си через Дельта. А чтобы и исключимым таким образом Омегу, например, из Нижнего Дельта Омегу поставим верхнюю, да и получим что?

1:13:52 Сюда, на дно. Падение. Делить на д. у по д. Омега в квадрате + д. В. Квадрате это Макси, ой, это это на А. Вот и отсюда заключаем, что при У. ПДА ДВ ПДН. Мега больше дв дв! Режим. При Режим автоколебаний. Устойчив. Соответственно, при таком смотрите, если выполняется это условие. На режиме автоколебаний, а со звездой, а Мега со звездой, то в таком случае да при возникновении какого то положительного. При возникновении увеличения амплитуды автоколебаний появляется положительный КСИ, которая там амплитуда от колебаний у потом уменьшает.

1:15:17 Да, Это ошибка, там не должно быть дель такси, там просто КСИ должно быть. Ну либо должна быть везде дальтокси тогда. Подай омегу, да, конечно. Мы записали условия того, что при что в возмущении автоколебательного режима в положительное преувеличение амплитуды она потом будет уменьшена с помощью. Вот это вот экспоненты ты, Кси, т. Или, наоборот, при условии уменьшения амплитуды она потом будет увеличена. Значит, здесь положительного значения, ну, то есть отрицательности КСИ и соответственно положительный экспонент.

1:16:07 Мы рассматриваем, при каких условиях, да вот установившийся этот режим с возмущением будет устойчив к возмущениям в 1. Варьируем, а Омега Икси. Мы не хотел бы избежать возмущения. Мы хотим сделать так, чтобы возмущение затухали. Мы подбираем. Мы подбираем такие условия на У. И вы, чтобы вот эти возмущения только определенного характера возникали, чтобы эти? Это что то такое, мне трудно сказать, как именно следует Кси трактовать. Она, скорее всего, будет зависеть его трактовка от конкретного уравнения.

1:16:59 Так что так? У по д. Омега в квадрате и д. В. ква д. Омега в квадрате, там и то, и другое по Омега. Проверьте вот эти вот выкладки здесь, да то, что я их так на память написал, скорее всего, мог ошибиться. Так что так? На этом мы заканчиваем текущую лекцию и материалы курса.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.