Лекция 17 | Теория автоматического управления

0:02 Слушайте, у вас больше стало, надеюсь, вы не будете также возрастать прогрессе? А то мы не поместимся, так так ладно я, а? Что есть, а так что выгонять, гонишь, что ли? Нет, конечно, так слушайте, извините. Я не проверил, что в прошлый раз мне там, скажем так, на решали. Вот, к сожалению, как то разок открыл, что то и не пошло, и не стал проверять. Следующий раз проверю, принесу, так?

0:36 Во 1 здравствуйте, я не поздоровался не не не не. Нет, нет, нет, нет, нет, нет, нет, нет, только не это прошу вас. Так так мы с вами в прошлый раз вспоминали какие то не основополагающие, но центральные понятия, да есть теория вероятности да что. Такое случайная величина, как ее примерно понимать. Многомерность случайная величина даже ввели понятие случайного процесса, да вот.

1:10 Давайте это продолжим потихонечку, так случайно у нас сейчас с вами? Да, тема мы вводим, так скажем, на пальцах до понятия случайного процесса того, что с этим связано. У нас будет все очень не строго, у нас с. Вами даже есть такой случайный процесс, который называется Белый шум. Вот математики его избегают, у математиков белого шума нет. У них есть виноровский процесс, от которого они берут производную соответственно.

1:35 Строго математически так, разумеется, удобнее более строже и все дела, но в инженерных приложениях. Достаточно часто используют понятие белый шум, и оно, скажем так, оно несколько попроще. Вот с ним в принципе могут возникать, если неправильно им пользоваться, то могут возникать чудеса, то и. Тождество, вот которые тоже не являются, да, но и искать в них ошибку. Трудновато будет, но мы с вами в такие дебри залезать не будем. Вот мы с вами попроще побыстрее попонятнее, вот и даже понятно.

2:13 Случайного процесса у нас тоже простое, да? Это случайный процесс, случайная величина, зависящая от параметра, т который есть время, принадлежит там множеству действительных чисел, а? Скажем, кстати, вот важный момент в терминологии. Иногда говорят не случайно, да, а там стохастический процесс. Да вот, например, так иногда говорят, но это мы для нас слова синонимы, хотя некоторые люди их разделяют. Говорят, что стохастические процессы случайный процесс, ну типа во времени, а случайный процесс. В принципе, он может быть там по пространству еще почему, то по разным, так?

2:59 Параметров вот Мы здесь таких деталей. Не будем наводить. Не будем наводить такие вещи, да у нас случайные и стохастические слова синоним. И даже, честно говоря, по моему исторически доходит байка то, что понятие. Стохастически ввел Хинчин, когда 1 из его статей не принимали по идеологическим причинам то, что процесс не может быть случайным. Как бы да вот как бы теория Маркса. Она запрещает того, чтобы процессы были случайными, поэтому что вы тут нам принесли? Да, ну а мы соответственно он выкопал, откуда то подумал, да там из старых. Источников да взял греческие корни и получился процесс тохастический. Вот, но это байка, не знаю, насколько это правда. Но можете попробовать есть кому интересно.

3:55 Позаниматься археологией, что ли, это называется выяснить, действительно ли это правда? В современном мире это будет очень сложно, так и. И мы с вами, соответственно, занимаемся случайными процессами, можете написать хастическими случайные процессы, продолжаем. Процессы в скобочках продолжение. Итак, определение у нас такое неформальное случайный процесс. Пикса т да это. Случайная. Случайная величина. За весь еще Вот по Параметра т. Время. Да, Так что так?

5:16 Определяйте так, сейчас Колмогорская аксиоматика на прошлом занятии мы определились то, что Колмогорская аксиоматика мы пороться не будем. Вот если хотите побольше о колмагорской аксиоматики до элементарные сходы. Пространство да там случайных величин, это вот все ковырять, то тогда открывайте. Гихман скороход, вот а в в смысле прошло и все и закончилось так. Вот у нас будет попроще с вами, нам с вами достаточно будет функции распределения. Мы не будем уходить дальше и так.

5:58 Дальше. Функцию. Распределение случайного процесса. Это что, у нас вот функция распределения? Если там у случайной величины, да там была 1 функция распределения, да и он многомерный случай мужчин. Тоже можно было задать 1 функцию, да то случайного процесса это функция распоряжения. Столько, сколько пожелаешь, вот их бесконечно много, так?

6:34 Это есть что это есть вероятность того, что случайный процесс времени т принимает значение не больше ИКС. Это одномерная функция распределения двумерная функция распределения. 2 Т. 2 т. 500 т 1. Вот. Вот и даже вот этих 2 она1 функций распределения. Нам на самом деле с вами дальше будет достаточно, потому что мы с вами будем интересоваться только 2 она-1 моментами. Да, это мат ожиданием и корреляционной функции, соответственно, для этого Эфодина этого будет с. Головой достаточно, так, а на самом деле их там до бесконечности. Вот чтобы описать процесс случайно исчерпывающий, надо бы задать их всем. Итак, это функция распределения, но дальше вот эти как раз 1 моменты. Да, самый 1 момент, который у нас есть, это матожидание.

7:54 Нас ожидание т мы, а т да есть. Будем записывать вот в такой вот операторной форме, как взять и массу ожидания от х. Вот это есть, да это есть. Интегральчик. Какой, а вот такой! Вот. Вот и мы с вами рассматриваем, да? Не дисперсию да, а мы с вами уже рассматриваем более общий 2 момент, да, который называется к реляционной функции. И чтобы его ввести, нам нужно это понятие доцентрированного. процесса да следующее определение х т вот это с кружочком сверху. Да, это центрированный случайный процесс, что вы пишите. Я повторяю, что было в прошлый раз, пока еще ладно.

9:04 Вот это центрированный. Верная случайность процесса. Так дальше и теперь да обобщение понятие дисперсия, это корреляционная функция.

9:33 Ка икс т 1 т 2. Есть что? Это есть матожидание, так? Так строчка, так 1 некст точка 3. Это 2 момент центрированного процесса, да или 2 центральный момент. Это не дифференцирование, это интегрирование, поле бега, сканере. Вот это вот, ну либо можете записать иначе как. ДФ по Так что так? Би Икс. В том случае, когда у нас функция распределения дифференцирована, да можем мы записать такой? Это банковский материал через плотность, распределение д. д. Щас д. Ф. Да, 1 вот так правильно, либо оно же эф, 1 на 35 вот оно, так традиционная функция.

10:50 Это 2 момент, да? Причем центральный, да, соответственно, произведение центрированного процесса на себя в разный момент времени. Так это же можете записать как? Икс 1 2 Икс 1 к 1 Икс, 2 к 2 ложе ты громко. Угу 22:20. 2 31 72 Правильно говорите, да не иксы, а еще от ожидания вычесть. Спасибо за поправку, да сиди на этот косяк, т. 1 а Икс 2 что Эмикса т 2 здесь, здесь тоже самое. Интеграл от Икс Минуса. 32 - 32 - 32 На ряд. ВТ 2 Икс 1 д Икс 2. Так, к реляционной функции у коалиционной функции есть свойства.

12:37 Свойства 1 да она симметрична. Настя. Да и что означает, что если мы поменяем местами, то 1 т 2 да? Возьмем ковариацию, да вот этих случайных величин в момент времени. Это 1 это 2 в другом порядке, ну что мы примножим просто в другом порядке. Да икс будет не, а т 1 нужно Икс, это 2 а Икс, а т. 2 Какая разница, да то есть это. Да, то есть это т 2 т 1. Симметричная функция. 2 Неотрицательность, неотрицательность! Что означает для любых т 1 тнт Кси 1 ксиенты?

13:46 Выполнено следующее утверждение к ИКС от. Сумма. По и Ижи. На Ксиета. Сижиты в Польше либо равна 0. Вот такая сумма будет неотрицательна. Так что так? 3 Свойство какое было, да, я говорил, что коалиционная функция, это обобщение понятия дисперсии, как из коалиционной функции получить дисперсию сигнала. Но Диагональ, да только здесь это будет, что Дерик Сатэ есть к Икс от т. т. Это дисперсия. Так что так? 4 Свойство да как получить вот этот центральный момент из не центрального?

15:07 Как говорят изначально, это чтобы это ка Икс от т 1 т 2. Можно иначе получить как усреднение. Икс 1 так икс т 1. Икс от т 2. Минусмат ожидания т 1 на матожидание т 2. Потому что нету никаких икс 1 икс 2 есть, 1 процесс Икс от Т. И он есть в разные моменты времени, т. 1 и т. 2. Так что так? Ну, на этом, наверное, воспоминания с прошлой лекции заканчиваются теперь. Движемся дальше. Давайте введем понятие. Стационарного случайного процесса стационарный ционар.

16:25 Стационар. Процессы бывают стационарными, что говорят в разных смыслах. Есть стационарные, в узком смысле есть в широком смысле, так вот определение. В В стационаре в узком. В смысле. Если Вообще вот процесс стационарен, это подразумевается, что подразумевается, что. Если мы сместим точку наших наблюдений, да вот мы за процессом наблюдаем, смотрим разные реализации этого процесса и берем одни и те же там времена, какие то вот или там моменты или.

17:23 Там от ожидания еще что нибудь характеристики, процесс считаем какие то статистические. И потом возьмем, и точка наших наблюдений сдвинем вот если. От сдвига точки всех наших наблюдений не поменяется. Характеристики процесса вот такой процесс, вообще говоря, стационарен, что здесь подразумевается, ну вот. Не знаю, вот возьмите зажигалку, да вот там пламя есть. Да вот она как то колеблется, вот и, например, вот зажгите несколько раз и посмотрите там в 1 и тот же момент. Какая там будет, например, высота пламени замерьте, так визуально чисто. Это вот определенный такой стационарный, но определенный случайный процесс, так вот если.

18:18 Смотря если случается так, что. Зажигалку зажигаем и вне зависимости от того, через сколько времени мы будем наблюдать за плане. Она будет иметь те же самые характеристики, то есть подождали мы там минуту, да и там. Посмотрели его высоту, например, или подождали, там 2 минуты посмотрели высоту. Эти получаются характеристики одинаковые. Да, то это вот проявление стационарности, то есть что процесс. Ведет себя точно так же, вы можете какой еще пример взять? Не знаю, какое нибудь вот давление, например, в трубах, в трубах отопления. Вот там у нас есть отопление, да можно замерить у. него давление, да это тоже какой то случайный процесс. Он же скакать будет, не будет все время там постоянно держаться, какой то величиной вот то же самое, если замеряете давление.

19:10 Сейчас и замеряете там спустя какое то время и получается те же самые характеристики. Пусть это и какие то реализации случайным, вот то соответственно это процесс стационар, ну с давлением в трубах. Конечно, в стационарности никакой не будет, да потому что он там, в зависимости от времени суток, она там меняется. Зависит от каких нибудь расходов подачи воды напора всего вот этого, так вот и.

19:40 Стационарность вот в узком смысле процессы, которые вот прям 100 пудов стационарные, вот прям гарантировано. Да, это те процессы, у которых от сдвига времени не меняются функции распределения, вот у нас функции распределения, они как бы исчерпываются. Описывается случайный процесс, и если эти функции распределения от сдвига по времени не меняется, то такой процесс называется стационарным. В узком смысле, то есть это, что ф 1 от Икс и т. Да будет равен ф 1 от ИКС и т. + Дельта Тек.

20:20 Вот или там, например, эф 2 Икс, 1 т. 1 Да, 32 т. 2 будет равняться 2, 31 т. 1, + ДНТ и обратите внимание здесь ИКС 2 и т. 2 тоже + Дельта, то то есть мы берем ковариацию величины, в какие то моменты времени, да и потом обе. Оба этих моменты времени сдвигаем, на какую то дельту, то у стационарного процесса. Конечно же, эта ковариация сохранится, потому что сохранится соответствующая функция распределения и так и так далее, то есть все.

21:04 Функции распределения должны быть подчинены вот этому утверждению. И причем это для любого, для любого дельта П. Итак, дальше? Давайте теперь посмотрим, что это означает. Для моментов, но вы можете догадаться, что происходит с 1 момента. Да, у стационарного процесса, что с мат ожиданием, ну постоянно, конечно. Да вот давайте как нибудь покажем, вот мат ожидания, да то у нас что то. Примерно ната ожидания это у нас усреднение от х от т. Да и можете написать Интеграл от.

21:54 Чего там от Икс это ф 1? Давайте, Икс, 1 Эф, это Икс. Т. Так, кажется, записывается, да так и. И теперь плотность распределения сдвинем на Дельта Т. Это что будет? Это будет ф 1 а Трикса т + Дельта, т. Т д. Икс и и. Это же будет мат ожидание Текса т + Дельта, т. Да, это будет МКС от т + дельта, т сейчас так подробно выписываю, чтобы как то учить по привыкли. Вот к этому обозначению, да и дальше мы будем пользоваться вот им, так? Итак, мат ожидания в момент времени, т. да равно мат ожидание момент времени т + дельта т для любого дельта, т. соответственно осталось положить дельта Т.

23:07 Чему чему бы положить Дельта, то равная. Чтобы прям вот совсем четко было видно, что это Константа. 0 Получится тождество. Нет, а у нас будет в другом месте. Здесь мы положим Дельта, то равно, ты т, но я нас получается. Микса т равно и микс, 0 то есть мы в нулевой момент времени, да и в момент времени т мат ожидание одинакса. Это Констант, вот соответственно положим.

23:47 Дельта, равная милость, т и тогда получаем, что МКС т равняется равняется от 0 константа. Это функция распределения вот эти, да это 2 разные функции, ну как разные. Это одномерное функционирование или двумерное. Если мы хотим написать функцию распределения для 2 случайных величин, взятые в разное время, вот он, а? Функции распределения бесконечно много. Потому что вот вы, например, можете взять такой тривиальный случайный процесс как. Случайную величину равномерно распределены от ты 1 до 1. И представьте 2 случайных процесса, 1 случайный процесс, это когда выбрали какую то эту. Величину и он постоянен, но вот соответственно, а другой случайный процесс, когда каждый момент времени вот от ты 1 до 1 эти случайные величины. Независимо друг от друга вот это 2 случайных процесса, в которых будет одинаковая функция распределения. Одномерная, а двумерная будет, конечно же. Разным вот у 1 она там с дельтой будет, ну, точнее, не с дельтой, со ступенькой. Если функция развивается плотность распределения, тогда сдых вот.

25:09 У другого она будет как произведение 2 ты1. Все так. Давайте, но это 1 момент с 1 моментом все очевидно вот со 2 моментом как. 2 Момент он интересный. 1 Момент то, очевидно, все во 2 очевидно чуть меньше, но тоже на самом деле очевидно. Если присмотреться к Икс, а т. 1 т. 2 Это есть взять и мат ожидание от эксцентрированного т 1.

25:49 Вот не буду я тут интеграл выписывать, простите, пожалуйста, вот напишу. Отсреднение от ИКС центрированная т 1 + дельта, т. да и эксцентрированная т 2, + так. И получается, что да получается внезапно, что мы можем сдвинуть корреляционную функцию. Оба момента времени на Дельта Т. Да и у нас хранит свое значение, вот вот давайте теперь положим. Дельта, т. Равная, там у нас был она, т. здесь мы возьмем ты, т. 1, например. Тогда что получается к Икс, а т 1 т 2 имеется СКА Икс?

26:50 Корреляционная функция оказывается тогда зависит от разности времен, но у нас на самом деле логично. Да, если мы от сдвига обоих времен хотим, чтобы функция оставалась тоже, то она, конечно же, будет зависеть от разности этих, так? И вот теперь. Мы можем ввести другое понятие. Икса, т. Процесс называется стационарным, в широком. В смысле. Если выполнено 2 утверждения, 1 утверждение, его мат ожидание постоянно. А 2 утверждение к реляционной функции зависит от разности времен.

27:52 Вот мы будем вот так неформально, это записывать не будем. Кстати, мы их от 0 везде, да просто бы нам их списать. Ну и подразумевая, что это не функция, а просто конкретное, какое то значение вот. Так что так? И корреляционная функция, что с ней сейчас мы сделаем? Давайте напишем свойства. Ка икс оттал. Стационарных процессов у нас кальционная функция зависит просто от 1 параметра от разности времен этих вот 2 случайных величин, до которые мы. Которых мы берем ковыряться, так?

28:40 Итак, 1 свойство да это симметричность. Вот давайте дружно перепишем свойства корреляционных функций, которые были для процесса нестационарного. В общем случае да перепишем в стационарном случае, как их сформулировать? Вот симметричность теперь, как будет выглядеть? Да, конечно. Так ну 2. Свойства тут вот неотрицательность. Цельность. Я его не буду переписывать, потому что она не меняется. Но аналогично. Так что так? Вот 3 свойство дисперсия. Как выражается дисперсия через корреляционную функцию у стационарного?

30:01 Да, То есть д ИКС это будет к Икс от 0? Внезапная дисперсия да будет постоянной! Ну, это вполне себе должно быть очевидно так. Ну, 4 свойство оно там, да не шибко оно и меняется, но остается. Давайте его как нибудь все равно запишу штука, Икс. Это он будет равняться, чему мат ожидание от х оттава х от 0? - Эмэкс в квадрате. Ну давайте даже вот так вот, чтобы не было там минусов, ЭМ ИКС в квадрате. Так что так? Ну, наводили страшных величин какую то корреляционную функцию.

31:10 Но нам этого недостаточно. Мы добавим еще. Для стационарного процесса есть такая характеристика, называется спектральная плотность. Правильно. Плотность. Стационарного процесса. Мы с вами будем водить ее как попроще, вот. Мы с вами ее ведем как Фурье преобразование. От корреляционных функций. Есть что Интеграл от Корей к составу? Соответственно тогда. Реляционную функцию спектральной плотности можно восстановить, да как обратное преобразование дать, как оно будет в данном случае выглядеть.

32:47 Угу, да правильно, меньше на 2 пены Интеграл. Экспонента, что там, да? В экспоненты действительно с плюсом степень, так? Это спектральная плотность. И Еще 1 определение, которое нам потребуется. Это белый шум. Это стационарный. Случайный процесс. С постоянной. Спектральной плотности. Плотность чего? То есть это что означает, это означает, что это вот Омега есть некоторое с нулевое? Так и тогда корреляционная функция. Белого шума как будет выглядеть, а?

34:34 Почти Близко очень близко. Нет, там никакого, а ну, Дельта, функция Тау это так. Да вот, а какой коэффициент перед ней будет? Обратно при образовании это 2 пи. Да, 1 на 2 пи 2 пи уходят, все про 2 пи закончили. Остается на. Модель так то? Как бы тыли корреляционных функций, вот если до этого момента, где то математики еще бы вот к этим всем записям относились так снисходительно, да то здесь бы они уже. Негодовали в голос. Потому что в теории случайных процессов, но не принято пользоваться дельт функциями. Там они доставляют много проблем, там пользуются немного другим формализмом.

35:47 Так ну вот такая такой интересный процесс у этого процесса. Любопытно, что любопытно то, что любые 2 его значения в разные моменты времени они вообще друг с другом никак не скоррелованы. То есть вы возьмете Тау не равный, 0 все будет? Что взаимная ковариация, она будет нулевая, а? Какова при этом дисперсия, да получается, а дисперсия при этом получается до бесконечно большой? Но это вас смущать не должно, да потому что вы помните, что есть, например, как в прошлый раз. Приводили пример до распределения каши, из которого можно понабрать столько величин, сколько желаете, а этого распределения не будет. Не то что дисперсия не будет даже и мата ожидания.

36:41 Поинтересуйтесь у ваших однокурсников, так? Итак, спектральная плотность, но я думаю, может быть совсем не очевидно, зачем она вообще нужна, это спектральная плотность, но. Я попаду, я попытаюсь дать какое то интуитивное представление. Вот, но не знаю, насколько хорошо у меня получится. Интуиция. К понятию спектральной плотности. Вы знаете, да что если, например, взять симметричную матрицу, да вот то ее можно привести к диагональному виду. Вот такой вот вы знаете утверждение, да вот вот, а?

37:47 Если, например, взять не матрицу, а взять просто вот линейный оператор, вот и рассмотреть его там, в гильбертовом пространстве, то есть не матрицу, которая в пространстве попроще, в Евклидовом. А нет, не дифференцирован, он должен быть непрерывно. На моей памяти стоит дифференциально, не подойдет, хотя зависит от того, какое пространство это я зря говорю сейчас. Итак, этого в Эль 2 дифференциально подойдет, а так, в принципе, если рассмотреть какие нибудь соболевские пространства, то, наверное, там дифференциально очень даже подойдет, так вот.

38:28 Итак, если взять просто в более общем постановке в Гельбертом пространство, какой то оператор, то его можно. Также представить, вот как как же это будет. же это в диагональном виде разложить, скажем так, по собственным функциям. И нечто подобное можно сделать, в том числе и со случайным процессом, то есть, если рассмотреть, если рассмотреть. 3 Случайный процесс. Икса т при обратите внимание. А да, Вэ, то есть на каком то отрезке время конечный случайный процесс. Сейчас речь не про стационарная, просто про какой то случайный процесс нам.

39:23 На конечном отрезке времени. То Есть. Так называемое каноническое разложение. Разложение. Как это разложение выглядит? Икса, т. Представляется как над ожиданием+. Сумма напишем позже. От Житых на фи жито. Вот такое представление где. Эм Икс, а т это то самое мат ожидание. Икса, т. Инжида. Т. Детерминированные. Функции. Да, это не случайно функция, это нормальная, обычная функция детерминированная, так, но они правда комплектно значные. Значный. Так, а б жито?

41:09 Это Не Да, это дети, да? Сейчас подождите независимые. Случайные величины. Так что так? Независимые случайные величины, причем. Корреляционная функция такого процесса. Будет выглядеть следующим образом. Д жито уже сумма от. Фи жито от т 1 на фи жи т, спряженная от т 2 вот. Казалось бы, да, причем здесь спектральная плотность. Вот так вот, давайте я вот здесь напишу, причем здесь спектральная плотность, да, да?

42:55 Все равно зависит от времени, от ожидания. Значит, набор случайных величин каждый из них может быть разного мата ожидания. Не не а случайный процесс, он 1 у него могут быть разные реализации. Не мат, ожидание зависит от времени просто у случайного процесса случайный процесс. Это очень, очень много случайных величин, ну континуально много этих. Случайных величин и эти эти случайные величины они могут иметь совершенно разный мат ожидания. Она может и там сям, где в зависимости от времени где угодно.

43:36 Это не стационарный, вот конкретно, вот это это не стационарный случай, это не стационарный. Потому что вопрос стационарности на. В случае, когда мы рассматриваем процесс на конечном интервале времени, это такой это тонкий момент, не будем вдаваться здесь так. Дальше что, так вот при чем здесь спектральная плотность? А вот теперь рассмотрим следующую вещь. Если Рассмотреть. Вот случайный процесс, который получается. От взятия преобразования. Случайного процесса нашего это получается уже случайный процесс. Он не во время не случаен, он же случайно в частотной области.

44:43 С С х т. т. Стационарный. То Торт корреляционная функция. Вот. В той частотной области у того вот дикого случайного процесса, который попробуй себе представь. Вот получится следующий получится равный спектральной плотности. Омега 1 на дельт функцию. Вот. Соответственно. Получается, что получается, что у стационарного процесса, вообще говоря, вот этими вот собственными функциями являются? Гармоники, вот экспоненты да комплексные гармоники. Вот и если вы будете искать, чему там равны соответствующие случайные величины? Да то у вас получится вот этот самый случайный процесс х с волной, но.

46:13 Но Это сложная для понимания вещь, понимаю это. Вот она написано за прикол здесь каноническом разложении. Обратите внимание, центральная часть его, да что в нем канонично. Если как то представить правильно в нем канонично, то, что у нас был случайный процесс, где много, много случайных величин, да вот континуальное число. А вот здесь вот случайных величин осталось, вот только в жито я. А их счет на, а их счет, на и вот и этих, и они еще к тому же друг с другом независимы.

47:00 Конкретные условия на процесс, к сожалению, я точно не могу сказать, но там достаточно при достаточно общих, на достаточно общих основаниях. Вот это экономическое разложение, по крайней мере, во всех практически интересующих нас процессах есть гарантии. И тогда получается, например, если рассмотреть дисперсию этого случайно дисперсия этого процесса процесса, то она будет получается складываться из дисперсии вот этих индивидуальных величин.

47:38 Да она просто вот прям отсюда получается просто здесь. Сумма д жидко на офе жито много в квадрате, и все вот. И вот это вот экономическое разложение, оно, так сказать, аналогично вот этому спектральному представлению. Только здесь у нас конечный отрезок и за это вот этих. Случайных величин друг с другом попарно независимых число счетное. А там у нас отрезок бесконечный во времени, и поэтому вот этих попарно независимых величин вот здесь. Вот какая получилась коррекционную функцию. Вот этих омега, 1 Омега, 2 вот этих независимых величин, их континуальное число, но они все равно друг с другом независимы. Потому что видите, какой там процесс получился. Он получился тем белым шумом, которого точки разные. Ну, там по времени, а здесь по частотам они не зависимы друг с другом.

48:39 Понимаю, это сложновато для восприятия, но я думаю, когда вы пару раз перемножить спектральной плотности, вам станет очевидно, что здесь чему. Давайте двигаться дальше так, а хотя что двигаться дальше время, сколько давайте перерыв. В общем, понимаю, для восприятия очень сомнительная вещь, но да, надо надо подумать. Вот это. Вообще разложение в ряд привет, получается, нам какой то базис уже дали, а здесь другое. Здесь вот представление оператора и вот что есть.

49:31 Как это? Что есть вот этот базис, в котором оператор выглядит наиболее примитивным образом, то есть диагонально. Соответственно, к реляционной функции на самом деле тоже можно рассматривать как оператор. Но более правильно, вообще как квадратичную форму ее рассматривать, потому что она будет давать это квадратичную. Форма. Будет да, да, да, ну не интеграл просто, ну просто интегрирование, вот и 1. Это 2 с каким то процессом, заданным наперед, не случайно, просто какой то процесс вот будет давать такую плотность, вероятность возникновения именно такой реализации.

50:17 На самом деле будет давать даже, но даже не плотность вероятности, но экспонент плотность будет давать, но более правильно будет давать дисперсию. Лучше даже, так сказать, будет давать дисперсию соответствующие величины, вот как многомерность в. Случайной величине, чтобы найти дисперсию. Вот чего то составленного из этих случайных величин, да нужно просто перемножить этот к революционную функцию слева и справа. Вот то же самое здесь проинтегрировали по т 1 и т 2 и получили дисперсию.

50:49 То заданной вот этой вот функцией. Вот, а вот здесь, ну вот если вот прочувствуете, что вот это вот это. Как его называют, что это случайный процесс? А лучше просто возьмите интеграл, смотрите здесь. Мы, если запишем х с волной, как интеграл вот этот икс на экспоненту и потом поставим в определение корреляционной функции вот эту вещь. Она прям сама собой вылезет, вот, но из соображений стационарности, да там будет достаточно, просто прям вылезет 5 функций реально, вот и.

51:32 Будет. Мы будем дальше рассматривать, как я не сказал правильно. Мы дальше рассматриваем с вами только процессы, стационарные, в широком смысле чисто. Ну да, да, да, да, да, да, да, да, ну, это зависит от. Как от Сеттинг. От контекста рассмотрения вот, но. Мы с вами везде дальше, под стационарностью, будем понимать только стационар в широком смысле, мы с вами не интересуемся моментами. Там 3, 4 порядка только 1 2 и соответственно для. Стационарности нам достаточно этих моментов, вот и поэтому мы не для стационарности. По нашему определению будет достаточно знать про эти 2 1 момент и все в широком широком смысле, и точка.

52:28 Так что так? Мы сейчас с вами вводили вот эти вот странные понятия, до которые описывают характеристики случайных процессов. А кстати, мы не написали с вами, наверное, важный момент. Если у нас есть спектральная плотность, так то. Дисперсия. Так вот. Дисперсия. Случайного процесса стационарного, как выражается через спектральную плотность. Тривиально выражается не надо да обратно. Да, да, это будет единица на 2 пи Интеграл. Действительно, вот плотности Атомега.

53:26 Это просто интеграл спектральной плотности. Вот сравнить с тем, что у вас там написано до про каноническое разложение, как там была. Сумма дисперсии, да здесь просто интеграл спектральный плотность, тоже сумма такая. Поэтому вот это вот на эту спектральную плотность смотреть, как вот на то, так сказать, дисперсии вот этих. Случайных величин независимых друг с другом, на которые мы можем разложить исходный процесс. Так, но здесь, конечно же, уже плотности этих дисперсий так.

54:02 И теперь мы потихонечку навводив вот этого всякого добра про случайные процессы. Перейдем наконец таки с вами к. Тому что? Происходят со случайными процессами до в динамических системах. Вот теперь мы с вами займемся анализом точности. Анализ. Динамических систем. Вот и 1 метод, который мы с вами рассмотрим анализы, будет называться методом интегральных соотношений метод интегральных. 40 Машин. Вот смотреть. Есть процесс. Икс отель случайно. Мы подождем.

55:11 Которая характеристики, которого не будут у нас случайными, звено нам известно вот. А на выходе получаем какой то процесс, который все таки будет случае. Мы с вами рассматривали. Интегральное представление до действия звена, помните такое через весовую функцию? Вот давайте его и запишем, что будет это будет Игрик от т равно интеграл вообще. Интеграл там по хорошему, надо написать по по р. Да, по все числа прямо ему, но мы напишем более детально, мы напишем более конкретно от 0 до Т.

56:05 Интеграл от 0 до т. Там бесоватый. Тетал. На Икс от тал детал. Это интегральное представление действует и теперь, чтобы узнать, например. От этого надо ожидать. Получили, воспользовавшись линейностью Интеграла и линейностью вероятности. Вот следующий шаг. Из 1 утверждения да вычтем, 2 да вы, кстати, вот вот это 2 вдруг человек. Звездой они составляют методы. Так давайте теперь посмотрим частный случай. Индекс. Я с тобой.

58:05 Хватит.

58:25 Давайте такой частный случай. Чистая Лиза, интересно, потому что вот смотрите? Мы их взяли случайный процесс, который 1. Которого комиссионная функция это. Как будет выглядеть как операционная функция, ну давайте? Школа экспресс сделаем. Так, ну а крыльцо у нас функция, процесс науки. Ну, это что это тот самый супергал? Кольцо, которое

1:00:07 Да, Как сделать? Интегрируй мне картинки. Соответственно, где это тут? Вот только по такому прямоугольнику нужно проинтегрировать, дай эту функцию разности. А А Типа по 45 все остальное будет равно. А вот это вот вы имеете право. Ну, почти бесконечно. Что получается, получается, что нужно утоловать им, принять равную шталу, звал мы отзовем? Их Вот и проинтегрировать в пределах, вот я это дал и до минимума Тайваньская. 1 Потому что в 1 случае, когда у нас прямоугольник такой, мы находим на металл. 2 Когда там вот это, когда то 2 3 4 ты находишься, 1 да прямоугольник другой.

1:01:50 Прямоугольник будет. Найдем только в. Интегрирование 5 Вот поэтому что светится в Перми? Вон туда проще было. 2 Месяца играл или 2?

1:02:53 Вот такая штука. Штука соответственно, а дисперсия. Но Остается да принять вам.

1:03:30 Поэтому, если у вас кто спросит, кого скажется на выходе из вина?

1:03:59 Вот посмотрите на это, посмотрите, что у нас здесь. Перемены, в которые интегрированы, стал в 1 металл, 2 стал. Знаете, вот прямая как раз и у нас, нас в Орле Интеграл, вот, скажем так, борной интеграл. Вот по этому прямоугольнику это то же самое будет с Дельта функции как одинарный экран. Вот порядок прямой на любому здесь и записать.

1:04:41 Можете, конечно, это более строго записать, рассматривая разные случаи, когда. А мне вот больше симпатичной картины. Вот так отметка называется отношение. С методом это прятать соотношений? Все хорошо, однако осталось. Скажи так, я тебя интеграл? Не сами может быть даже в простых случаях. Это уже не приятно, что посложнее застрелишься пока. Поэтому Существует человек не только. Вещь как метод спектральных плотностей. Новости. И сейчас, чтобы этим янки нам как то воспользоваться озадачиться следующим вопросом, вот смотрите.

1:05:59 Снова та же картинка. Через пару занятий от этой конфетки вы торчите. Давайте зададимся таким вопросом, вот у нас на входе процесс. Пусть он стационарный. Вопрос. На выходе. Тоже было специально. Это у нас неправильно, да? 142 Здесь на самом деле будет реплика, чтобы на выходе процесс получился стационарный, вот чтобы нам в форме был стационар. Ну, Но если находит да процесс нестационален, то на рынке будет. Но при определенных условиях, наверное, больше.

1:07:19 Это, скажем так, мы напишем условия, достаточно тебе необходимо тоже. Так или иначе, например, звено просто может умножать. Простите, но и на выходе мы получаем случайный собор. Или нет, но можно его рассмотреть как случайный. Такой процесс затерменный процесс тоже можно рассматривать как случайно. Просто недостаточно индивидуальный функция распределения. А Лондонское. Например, оно будет рациональное не. Будем сейчас какое то какое то занимание. Да, но здесь вы правильно сказали то, что.

1:08:08 1 Исследование для того, чтобы на весь ответ да да смена тоже должно быть стационарным у. Ассоциара разбирались в ином смысле. Она существует передача. Пункт с утра это у нас 90 она, например. Потому что да не зависит реакция глубина, но в какой момент времени мы начали продавать? Мы сдвинемся. Те же самые требуемые, что и национальности звенят, они здесь остаются. Да можно уточнить небольшой, да у нас по стационарности подразумевается. Есть местами.

1:09:20 Самарный звенак на свинье. Просто да, эти коэффициенты они не зависят от времени, если деформа без смещения. Да, да, да, да, это другая стационарность, ну в смысле тоже. Дальше мы и там же вам так же будет еще. Да мы с вами дальше будем пользоваться только стационар, когда я еще про стационарный, с учетом. Станционал в широком смысле. И теперь. 3 Важный пункт о том, в какой задач мы должны рассматривать. Динамику систем мы должны рассматривать динамику системы, что называется, установившимся. То есть, если у нас с вами?

1:10:28 Скажем, была какая то система, она стояла в нулях, и потом мы на фронт начали, пыталась стационарных процессов, то на выходе не сразу будет. Сперва там и И вот представьте, да? Систему которой подали на вход, в какой то случайный процесс. Вот 1 реализация какая нибудь вот такая, да там другая реализация тоже из 0 выходит, и там, куда пошла 3 реализация. Из 0 вышел немного вниз, только вот сейчас. Это уже практическое, которое намечать. Скажем так, вот гляньте сюда.

1:11:16 Вот смотрите в стационаре. На вход мы здесь подали стационарный процесс. Систему давайте возьмем тоже стационарный дубль. Выгнуть зависит от разности. Все равно получается, что дисперсия развивается нулевое давление. Она была, 0 чтобы выйти на полочку, на какое то значение этой дисперсии в нужное время. Вот соответственно, поскольку ей нужно время, нужно подождать, пока она выглядит тоже. Процесс станет сама, тоже характеристики перестанут зависеть от что в начале, когда мы только запускаем задачи. Каши были сперва Нули, там заболевали от времени и стресс.

1:12:03 А потом она устанавливается каким то уже не имеет значения, которое почему то устанавливается, будет устанавливать, но и даже да мы. Мы можем с вами прикинуть. Какова будет дисперсия в установившемся режиме? Просто да возьмем вот от этого предела до получишь. Просто интеграл от весовой функции в квадрате от 0 до бесконечности, это будет дисперсия. Да подождет достаточно по этому интересу. Да, это достаточно. Либо. Задача. Без начальных условий. Если мы возьмем какие, то начальные условия подменим момент.

1:13:11 Когда поменяются эти начальные условия, ты бесконечности. В смысле, вот текущее время уже будет прекрасно. То есть это если вот здесь написать до Интеграл от ты бесконечности? То есть мы здесь напишем, когда будет бесконечность, то когда у нас здесь после замены переменных получите у ребенка без бесконечности, просто безупречно и. Все нет зависимости от значения, то есть дисперсии. Так так вот. Когда У нас нас, когда у нас уже установившийся режим и процесс находия и системы стационара. Тогда мы можем уже озадачиться вопросом, какова.

1:14:15 Коалиционная функция увидеть то, что она отличается от разности времен и задача сельджан. Тем, как вы все давайте быстренько сделаем. Что у нас по методу интегральных соотношений? Будет Интеграл, он даже 2 не играет. Да, но мы сейчас с вами запишем эти правильный канал, и я * * очередной раз запиши их пое, потому что у нас задача теперь без. Начальных условий, вот а теперь у нас не отлям этот это игра. Да, а там уже не можно писать не до дня, 1 а можно писать сразу до + бесконечности, поскольку весовые.

1:15:04 От 0 при Тау больше.

1:15:44 Давайте сделаем замену. Да, да, да, да, да? Рассматриваем причины. Теперь давайте забеем, чтобы играть. Понятно, итак делаем замену. О бомбеечке он не понимает, колдовать. Москворецкий вещами фото. Сделали самим, да люди, то есть вот это вот. Теперь смотрите, теперь калибрия явно видно, зависит только от разности времен Т. Т 2. То есть в Корее получается процесс игр и получается стационарным? То То есть получается, что коренные? Каким образом на выходе?

1:17:22 Видим, что процессы в Самаре и давайте увидим, какова его спектральная плотность. Это же будет еще 3 берем у! У нас были отправы, нам их недостаточно именно пишите. Да и своя. Этого 1 да и того 2. Вот такая помощь не отпал, конечно же, от Америки. Вот смотрите, осталось 1 утверждение, теперь смотрите. Вот эту экспоненту. Можно записать стал 2 +. А потом. Эти толпой то 1 вылечить соответственно, что получается у нас. Тогда вот этот интеграл распадется на 3 независимо друг от друга, это будет произведение, смотрим финал.

1:18:55 Экспоненты, минусы и на 3. Интертинг игра. Теперь таким образом подключаем. Если вы приглядитесь вот этим 1 независимо, независимо от нас произведения. Вообще, говорят, Клюкзена. Вот это вот это, это частотная саундтами, и они 11 + 11 + 11 + это 8+. То есть что получается, получается, что собираем я подпись? Дебил. Вот видите, какая замечательная вещь с электронной уборкой. Спектральная плотность процесса в восстановившемся режиме случайного процесса, когда у нас стационарно все получается на выходе из звена, это и есть.

1:20:33 + Умноженное на квадрат. Вы захотите взять кольцо, вы будете называться слабым. Спектральный корпус процесса находит, умножаете на квадратный квадратный 600 грамм пика, берете обратно 3000000. Если вас интересует только дисперсия, не обязательно брать до завтра. Вот вот и вся история по методу испытательности. Точнее, это часть не стоит, там еще будет 1 достаточно любопытный интегральчик о том, который продукт, как все таки вот эти интегралы. Чтобы успеть это сделать на контрольной работе, соответственно об этом уже поговорим, как высвечивается.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.