Лекция 18 | Теория автоматического управления

0:00 Давайте продолжим теперь тему метода спектральных плотностей и. И посмотрим, да как мы можем, не прибегая к различного рода и с хищением взять. Вот интегралы, которые возникают при использовании этого метода, так здесь, соответственно, 2 замечания. Нужно сказать, в довесок тому, что у нас было на предыдущей лекции, значит замечание 1.

0:39 Обратное преобразование Фурье очень часто. Так давайте ка напишем, как это вот так, да? Индрик, да да, Мега. Да равно чему там единица на драке играла, это поверх вот чего. Так вот, обратное преобразование Фурье. Вот это вот очень часто удобно брать, прибегая к лемме Жардана. Это у вас была такая, да не так давно. В чем суть суть в том, что? Здесь у нас давайте действительно часть омеги. Часть омеги. Вот нам нужно взять Интеграл по действительной оси.

1:48 Соответственно. При различных значениях Тау мы можем добавить большой полукруг к контуру сюда. Этим сам вот этот интеграл от ты бесконечно до + бесконечности привести к интегралу. Отыграла, так это отыграла правильно, почему? Я напишу им неформально, да без предела. Интегрирован по г. Вот, но вот прибегнуть к добавлению такого полукруга до. Обратите внимание, можно соблюдая следующие 2 условия. При 1 Это тал больше 0. Угу, то есть вот здесь действительная часть, да и экспонент получался отрицательный, да?

3:06 Вот и 2. С Игрек. По модулю да стремится к 0 при Омега, стремящимся к бесконечности, что на бесконечности спектральная плотность. Равномерно раза, а так при модуле Омега стрем стремящимся к бесконечности во 1 вот так вот. И Ну давайте, да все правильно, правильно говорите. Правильно говорить, так здесь 1 утверждение такое 2 такое. Вот и соответственно, тогда тогда можем взять. Соответствующий Интеграл просто просуммировав вычеты в полисах. Не Да, да, да любые правила.

4:39 Не Не почему точка сгущения полюсов есть такое? Что значит жизнь, а вот такое в жизни бывает? Кстати, бывает. Так что так? Вот это 1 замечание и замечание, 2 оно у нас будет называться спектральный интеграл. Спектральный. Спектральным интегралом мы называем следующую вещь. Б бы его обозначить давайте и с индексом то единица на 2 пи интеграл по р, вот да. И Амина уделить на А. Омега. На А. Здесь 2 омены. Вот. Где а? От С будет СВНТ + + аренты. БТС будет в 1 степени 2 на ты 1 + во 2 степени 2 на м ты 2+.

6:21 + Б. м. ты. Нет, + б НТ. Вот для такого интеграла существует красивая формула. Правда доказывать ее, это застрял полнейший, вот но выражается она следующим образом. Значит, имеем, и это будет равняться единица, единица степени по минусы делить на 2, а нулевое умножить на м, делить на дельту.

7:09 Где м и Дельта это следующие детерминанты? Детерминант Дельта это чисто детерминант матрицы Гурвица для многочлена, а? То есть это, а 1, а 3 опять и так далее? А 0? А 2, а 4 и так далее, 0 а 1 а 3 5. 0 0 2 Вот это Дельта, а М. Это та же Дельта только замененной 1 строчкой на коэффициенты многочлена Б. Б Б 3 так далее. 0 2 А 4 и так далее. Соответственно, если у вас получается. Уже Снизу там, например, 3 порядок, да то есть квадратного члена 3 порядка, да у нас сейчас был 2 порядка. Да, если получается, например, даже 3 то лучше воспользоваться этой формулой. Будет короче проще и быстрее, чем самому подбирать коэффициенты, вот вот.

8:57 Детерминанта, в которого большая часть коэффициентов будет большая часть элементов, будет нулями, быстренько посчитаете. Если кого заинтересует доказательство это. Сообщу, где его искать, так? Да н, ну типа степень. Многочлена, а да обратите внимание, да уб. Степень многочлен связан с степенью многочлена от, соответственно, не обязательно. Старший коэффициент должен быть не нулевой, он может быть нулевой здесь, а у, а и подразумеваем, что старший коэффициент, конечно же, не новый.

9:46 Ну, это вот, наверное, все, что я хотел добавить к методу спектральных плотностей, вооружившись вот этими приемами и этим методом. Да вы уже можете там решать достаточно интересные. Задачи на выяснение того там, при каких, например, значениях какого нибудь коэффициента в звене, да будет минимальная дисперсия. Сигнал на выходе очень такой вы можете уже порешать.

10:15 Ну, это оставим на семинарах. На лекции мы с вами сейчас продолжим дальше теоретический материал. И сегодняшняя тема будет. Просто прекрасно. Она будет называться корреляционная система уравнений. Звучит, может быть, страшновато, но на самом деле это шикарный красивый инструмент. Система уравнений. Наверное, было бы более правильно сказать система корреляционных уравнений или система уравнений корреляции. Она называется она у нас с крыльцом и системой уравнений.

11:19 Решать мы будем следующую задачу. Представьте. Что у нас есть некоторый случайный процесс Х. И к нему мы подвешиваем, подмешиваем белую. Белую шм через уравнение, только здесь у нас уже икс будет не совсем скалярным случайным процессом. Он у нас будет векторным случайным процессом, теперь Икс это у нас. Столбец. Этих вот процессов и все они случайны, вот поэтому у нас здесь стоит с вами уже матрица. Мы рассматриваем эволюцию некоторого случайного процесса до этого. Люция с таким отравлением матричным. Да как у нас с вами было уравнение в пространстве состояния, это оно и есть только уже для случайных процессов, да и мы.

12:35 Теперь Возьмем с вами не 1 белый шум, а вектор белых шумов. Вектор белых шумов мы обозначим вот. Такой вот буковкой. Знаете, что это за Буковка? Это не да, это не аш и не м, на самом деле это буква, это просто большая. Ну ладно, будем говорить, как вам удобнее, н или аш Аш. Давайте, Аш, давайте, да давайте будем говорить, Аш. Это столбец, да м на 1 предположим, да соответственно у нас м компонент.

13:23 Случайного процесса, который мы с вами будем исследовать, так соответственно матрицы, а и б какого получается размера. Скажите мне, пожалуйста, давайте, а? Ну а что, наверное? Почему м? Мм, конечно, же должны получить размерность, которая слева стоит, а там н на 1 да, да на м согласен. Соответственно, матрицы, а и б считаем фиксированными. Мы не будем рассматривать нестационарный случай, хотя для него модификации на самом деле будут очевидны. Так что так?

14:07 Что мы здесь имеем? Давайте напишем следующее, а т. Вектор. Случайных процессов. Вот для этого вектора, да мы можем определить основные моменты. Эм Икс. Это мат ожидание. Этого вектора случайных процессов. И А давайте не м Икс, давайте просто м. Не будем писать Икс в индексе. И корреляционная функция. Да только теперь уже проблема до с корреляционной функции. У нас там было икс от т 1 умножить на ИКС от т. 2 Теперь у нас 100 вектор ИКС. А что делать, да правильно, какой из них?

15:17 Нет, не правда? Я пока этого еще не записывал, ну ладно? Почему правда? Потому что так мы получаем матрицу, мы получаем все взаимные, мы получаем все взаимные ковыряться. А если мы слева умножим на транспонированный, мы получим 1 единственную дисперсию, для какой то величины, которая совершенно не. Не описывает целиком моменты 2 порядка для вектора ИКС. Хорошо. Ну, теперь есть. Вы просто пропустили 1 лекцию. Там это было. Шок так? Нет, давайте запишем 1 раз, это будет полезно. Только записывайте это куда нибудь стороне, потому что мы еще не сформулировали целиком задачу там или оставьте там место.

16:42 Так здесь что будет? От ожидания от чего? Так здесь транспонирование. Так что так? Икс, это столбец, значит, Икс, это ты 1. Да, однако. Икс 1 т 18 , эм Икс, Эм, 1 и ТЭ, 1 и т. 1 умножить на К. С. 1 т. 2 я. М. + м 1 т 2. Так что так? Так икс 2 т 1 м 2 т 1. Икс. 1 2 - 11 2 Икс 2 т 2 т 2. Т 1. Икс 2 т 2 + м 2. Однако не хватает доски, даже чтобы 2 компоненты выписать, ну ладно, так? Написать было бы понятно, как на что просто в порядке, как мы что, с чем то.

18:44 Ладно, А вы нет, да ну ладно, так я допишу, так икс 1. Икс 2 т 1 + м 2 т 1 на икс, 1 т, 2, если м 1 т 2. Так что так? Но, к сожалению, скобка не могу закрыть, простить вот тут концы скобок. Вот, но давайте запишем. Компонент, да и т. Так, а т. 18- м и т. а т. 1. На Икс жита от т 2. На ты м жито, а теперь 2. Это закрыли и вот так еще, да? Да так здесь ижи, ижи! Вот вот так. Так что так? Это матрица корреляционных функций, обратите внимание, причем она.

20:25 Заметьте, у нас до этого, например, была ковариационная матрица и. И она обладала приятным свойством асимметричность. То здесь, на самом деле, с симметричностью возникают уже вопросы, а я, значит, неправильно записал коэффициенты. Вот видите, неправильно тут записал, так икс 1 икс 2 т 1, а здесь.

20:56 Икс 2 от т 2 должно быть, а икс 1 так икс, 1 это икс, 2 это 1 блин сейчас. 10 Икс. 1 Левый дает нам по строкам правый по столбцам. Значит, Икс 1 а т 1 м 1 на т 1 икс 2 т 2 2 т 2? Вот обратите внимание здесь уже. Элементы, стоящие не на диагонали, да они получаются неравные друг другу. То есть не будет не будет симметрии, то есть у нее будет свойство, какое у нее свойство будет к т 1 т 2 и до транспонированы это будет к.

21:56 Т 2 т 1. То есть, когда мы оттранспонируем, нам нужно будет поменять местами т 1 и т 2. Так что мы имеем дальше. Соответственно, взяли вот эту матрицу корреляционных функций, взяли мат ожидания и вроде вектор Икс. Это все описывает, да соответственно, а и б, а и б это у нас матрицы. Так что так? И Аша тест. Это у нас. Вектор. Белых Шумов. Где? Корреляционная функция. А точнее здесь будет тоже уже не корреляционная функция да матрицы к революционных функций.

23:03 Обзовем, обзовем, вот так, с с умноженное на дельта, а ты 1 одни т 2. Это будет на ты же дома. Ты 1. Понимаешь, давайте центрированный т 2. И Эс, это матрица. Да, 3 целых. Спектральных плотностей. Белых шумов. Она постоянно, да это же у нас белые шумы, поэтому у них спектральные плотности они постоянно не зависят от. Так что так? Вроде бы этого должно быть достаточно, вот теперь вопрос. Вопрос. Как Какова? К Икс от т 1 т 2. Как бы нам посчитать матрицу коалиционных функций процесса ИКС? Ну пусть там нам задано, какое тебе начальное значение, да там типа.

24:41 Ну типа при там ка Икс. Преизвестный. Этой матрицы в нулевой момент времени, да и еще, наверное, следует сказать, что. Икс от 0 будет у нас Ортогоналя. Белым шумом Ну, то есть в начальный момент времени иксы это тоже какие то случайные величины, да они соответственно независимо с белыми шумами. Вот давайте сделаем перерыв и после перерыва займемся этим вопросом.

25:37 Что 5 минут перерыв? Подождите. Тут правильно, теперь вот у нас в строке. Вот вы строчку умножаете, вот у нас столбец я. Да правильно, сначала я перебираю элементы столбца с 1, да и составляю строк. Смотрите вы, когда перемножаете матрицу, это же обычное умножение матрицы. Да вы умножаете также, да вот так их умножаете, нажать точно также. Здесь просто у вас длинные этих строк столбцов будет 1. Вот здесь 1 на 1 здесь, 1 на 1, здесь, 1 на 1, и произведения эти будут 1 на 1. Все, вот и соответственно, будет матрица, состоящая из произведений вот этих 1 на 1.

26:38 То есть строка составляется 1 2 3 4? Перебираем. Не слушайте, там все нормально. Мне ничего там не мешает мне мешать, когда вот надо начать такой отвлекаться. Это мешает, когда там чем болтать, кто то сзади сидит, я этого не слышу вообще. Я, кстати, подготовил определенный материал по этой теме, но хорошо до конца отредактировал. Давай высылает, да даже да даже не до конца. Все равно что нибудь показывают, потому что если будешь там пытаться сразу окончательно подготовить, в каком то виде там семинар. Или лекцию еще чем такое это виде такого рассуждения? Вот как будто бы я от 1 лица что то рассказывала не. Ну, ну высылай, что есть то. Высылаю, я с удовольствием посмотрю вне зависимости от того, насколько там богатый материал. Мне все равно интересно в любом случае.

28:43 2 Недели сегодня будет. На 2 недели там так получается, что у нас она начинается в пятницу и заканчивается в пятницу. А что за? В Новосибирске, который будет, а в Новосибирске. Слушай, ну да, в Шерегеш добираться далеко, есть такое. Как то там путь какой самолетом, потом поездом, самолет, самолет, а там местные. Да как у нас удалось сорваться на местных или нет? Хорошо, я понял тебя, вот, может быть, знаете, как получится. Я тогда вместо договорись с ними да переместить куда нибудь.

29:32 Да если у тебя будет не получаться, сообщай, тогда я привлечет, так давайте продолжим. Но с тем, как определяется матрица коррекционных функций. Вроде так разобрались, хоть я и по пути накосячил в 1 месте. Я надеюсь, все равно понятно, так? Давайте эту поверхность используем для решения поставленной задачи. Найдем, какова же это матрица коррекционных функций? Так до ответа еще далеко здесь, пока напишем решение. Так ну что нам с вами нужно здесь записать? Да, нам нужно с вами записать решение этого Дефура, для начала было бы очень неплохо.

30:42 Но решение этого Дефра выражается, вы знаете, как это матричный экспонент? Но если брать однородный дифурдат, то просто экспонента х от 0. Вот да, + правильно свертка, соответственно, имеем х т. равняется экспонента, отель на ИКС от 0.

31:07 + Дальше интеграл от 0 до т, вот чего нам, да мы должны свернуть весовую функцию. С вот это не однородность, но весовая функция у нас, это что там это у нас? Б Сейчас сейчас, как там будет правильно выглядеть. Экспонента, а? Правильно, да б на аш аш от. Вот да. Вот так выглядит решение, да, но это же решение дефюрера. Нас интересует, какая будет коррекционная функция соответственно, чтобы найти корреляционную функцию. Нам надо взять вот этот Икс. Отцентрировать его, умножить на себя транспонированный в разные моменты времени от этого всего взять матожидание. Тогда мы получим вот 2 моменты соответственно и и давайте это сделаем.

32:29 Ну икс центрированный, да это будет что. Экспонента. Центрильная + Так что так? Ну а теперь пишем матрицу коалиционных функций. А т. 1 т. 2. Будет равняться. Будет равняться следующему. Эксцентрированного т 1 и эксцентрирована т 2 транспонирована. Так что так? Ну что, осталось вот это умножить на себя да транспонированное и взять от этого матожидание? Тут, собственно, вроде все просто так. Даже не знаю, насколько подробно это следует записывать.

33:52 Давайте вот так вот запишу. От от 0 на Икс. Угу. Так дальше. Так что так? Так что так? Значит, здесь т 1 здесь т 2 здесь т 1 там, 1 т. Т 2 т 2 здесь интегралы от 0 до т 1 от 0 до т 2. Так внутри Дэтл, 2 Дэтл 1. Я опустил 2 члена. Видите, какие нет, да, да правильно. Смотрите, здесь должны быть еще перекрестные члены между Х. От 0 и аж оттал вот, но я их опустил. Поскольку у нас шатал принимается независимо, независимо, то есть эти вот белые шумы, которые впоследствии действуют на. Систему они никак не связаны с начальным состоянием системы, они друг с другом то вообще никак не связаны. Но мы еще говорим то, что и с началом системы они тоже не связаны вполне достаточно естественные условия, так вот.

35:55 Что нам здесь так здесь, что у нас здесь стол 1 здесь стол, 2 так? Вот смотрите, что получается, ну с 1 слагаем вообще все понятно да экспонента, а т. 1 на реляцион. Ну, матрицу к реляционных функций от 0 к экспоненту, а транспонированный т. 2 + Здесь здесь вообще все четко.

36:22 Вот вот здесь уже чуть менее четко, но здесь у нас есть с вами замечательная вещь. Да, здесь стоит у нас матрица корреляционных функций белого шума, а это прям прекраснейшая. Замечательная вещь, потому что она представляет собой просто дельта функции. Да где она тут, у нас вот она, дельт, функцию умножена матрицы, спектральных плотностей, вот в.

36:52 В смысле, от 0 нет не 0. Что мы получаем здесь, мы получаем Интеграла от 0 до т. 1 от 0 до т. 2 экспонента. А т. 1 устала 1 б на б на матрицу спектральных плотностей на дельта функции. От Тау 1 3 Тау 2. Т 2 а транспонированная т 2 - 102 да да да да да да вот. Вот это вот хороший, хороший глагол был, да? Так что так? А теперь применяем вот тот самый фокус, интегрирование методом картинки помните, вот было на том. На той лекции было, да у нас теперь вот эта интегра. Вот 0 да ты 1 интеграл от 0 до т 2 превращается в интеграл от 0 до минимума. А ты 1 т 2 да и внутри того, 1 то 2 заменяем за тал и того.

38:02 Итого имеем экспонента, а к 1 к реляционному матрицу, к реляционных функций экспонента транспонирована. Это 2 и + интеграл от 0 до минимума. Минимум на т 1 т 2. Интегралом, что стоит экспонента, а? Т 1 3 тала б с б транспонированная не экспонента, а. Транспонируем т. 2 ты стало. Вот. Что смущает? Вот итоговое выражение матрицы корреляционных функций. Так ну всего то осталось да взять матричных экспонент. Парочку да и проинтегрировать по ним вот, но.

39:13 Минимум от т 1 т 2 это верхний предел интегрирования. Почему получается минимум см предыдущей лекции интегрирования картинкой, как проинтегрировать дельт функцию, когда у нас есть конечный предел интеграции, так? Да, Да, Конечно. Когда мы центрируем? Нет, нет, когда мы центрируем, мы взяли вот от этого мат ожидания. Вот от этого уравнения, да у нас получается матажи Дании КСА есть мат ожидания. Ксат в 0 умноженное, здесь стоит мат ожидание от белых шумов.

40:05 Плотность распределения случайного процесса Икс сворачиваем Аш. Нет. Нет, по хорошему у нас вообще говоря. Если вы рассматриваете, хотите через плотность распределения записать, то должна быть плотность распределения совместная и Икса, и Аш. Вы всю ее должны записать тогда вот. Ну не 2 эн плюсы. Вот поэтому она через плотность распределена, это застряло, что исполнится распределение. Это записывать абсолютно точно не будем, так так вот, собственно, вот таков ответ.

40:50 Какова матрица коалиционных функций? Но в приложениях, да вот пытаться этим воспользоваться, но это тяжеловато, поэтому. Этот ответ можно упростить, а этот ответ можно упростить следующим образом. Можно записать уравнение, которому подчинена матрица коалиционных функций, то есть, собственно, дефур, записать для это для вот этой. Вот матрицы свой дифур, вот давайте это сделаем.

41:25 Вот, но чтобы записать Дефурт, да у нас же 2 переменных ты 1 и т. 2 Но не будем же мы в частных производных. Да, сейчас там пытаться это делать, давайте сделаем следующее. Давайте рассмотрим. То, что у нас в курсе принято называть диспрессионной матрицы, хотя в разных книжках дискорсионной матрицы называют разные вещи у нас депрессионной матрицы, да это. Вот это вот матрица коррекционных функций, только взятый момент времени ТТ, да, соответственно, у нее на диагонали стоят дисперсии непосредственно до компонент ИКСа.

42:10 Вот вне диагонали стоят в. Ковариации взаимные до этих компонент икса, так? И чему получается на ровный экспонент АТ д? Умноженное на для 0 экспонент, а транспонировали т + эта игра в этом ряду ты. Экспонент, а турнестал. Б СБ экспонированное транспонированное это. Низкое уже попроще. Хотя бы не от минимума этого странного, ну и теперь давайте рассмотрим. Как бы записать производную вот это вот матрицы коалиционных функций в 1 момент времени, который мы называем дисперсионным адресом.

43:10 Вот от этого как бы взять нам производную по т. Да от 0 да ты! Вот вот, смотрите, если на самом деле присмотреться. Да, но мы че, берем до дифференцировано нам, что нужно сделать. Да у нас сколько будет слагаемых там, да? Когда мы посчитаем производную 1 отсюда, 1 отсюда, да еще 1 вот отсюда, отсюда и отсюда. То есть 5 всего их, но мы можем здесь на самом деле уже увидеть то, что.

43:47 4 Из них собираются в более короткие. Вот посмотрите на производную, когда мы дифференцируем вот здесь, вот здесь. Да, когда мы дифференцируем здесь вперед, вылезает, а когда мы дифференцируем, здесь тоже вперед вылезает. А то есть мы получаем просто, а умноженное на корреляционную функцию точнее. Точнее, на депрессионной матрице не на коррекционной функции. Так это у нас из этих 2 слагаемых, когда мы дифференцируем? Экспонент из права вылезает, а транспонированная. Да мы ее будем отеспонированы не влево вытаскивать. Да потому что ничего нам сделать, а транспонировать стоящий здесь мы ее вправо сюда поставим, вот что мы теперь.

44:39 Что мы имеем, как ТТ умножить на атласпанированную? Ну и осталось продифференцировать предел интегрирования верхний. А это значит взять то уравнитель под интегралом. Да что получается б с б транспонированная? Вот получили замечательное достаточно несложное уравнение. Вот это уравнение, давайте обозначим звездочкой с индексом 1 вот. Вот. То, что у нас сейчас будет еще звездочка с индексом 2. Звездочка с индексом 2 у нас появится. Когда мы захотим дать ответ на вопрос.

45:40 Ф функций то, 1 то 2 а что же происходит, когда ты 1 неравно т 2? То есть теперь рассматриваем, когда, например, т 2 больше т 1? Тогда Матрица коренционных функций. Имеет. Следующее представление, да ну у нас что, мы переписываем вот это вот все утверждение целиком. Только теперь мы знаем, что минимум он. У нас строго определен, да у нас там минимум 101 т. 2 Это просто будет т 1, так то есть экспонента АТ 1 на к от 0. Экспонента транспонирования ТГ + интеграл от 0 до т чего там 1.

46:48 И Теперь И теперь возьмем. Производная по т 2. Может смотреться, конечно, диковато, но вы сейчас увидите, в чем фокус. Смотрите, когда берем производную по т 2 здесь, да у нас чисто, а транспонировано влезать направо. Больше ничего не происходит, то есть к т 1 получаем т 2 умноженное на, а транспонированный.

47:34 Вот смотрите, что получаем, так это у нас будет. Звездочка с индексом 2. На самом деле мы теперь уже получаем ответ на исходный вопрос, ответ. Что? К Атт. Ищем. Из так звездочка с индексом 1 с начальными условиями. Как 0 0 с тем начальным условием, которые нам заданы? 3 Т 2 больших т 1 к т. 1 т. 2. Ищем. Звездочка с индексом 2 с начальными условиями. Вот здесь вопрос, вот смотрите, что у нас получилось. Может выглядеть у у нас несколько необычно? На самом деле уравнения получились то, что вот это уравнение вы его решить, хоть оно и для матрицы. Да ну че она линейная, это линейный диффуара, ну системой. Обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом 1, порядка. Да вот потому, что у нас здесь все матрицы, да все известный матрица, кроме к которая, собственно, ищем, но.

49:08 К от 0 0 тут Икс написал, да как просто от 0 0 нам известно, как начальные условия. Таким образом, мы из этого уравнения можем найти к от ТТ в любой момент времени. Да, но этого недостаточно, то есть мы хотим, вообще говоря, знать вот эти всевозможные корреляционные. Функции не в 1 момент времени, и вот это вот дисперсионную матрицу. А мы хотим знать все таки в разные моменты времени, как они друг с другом связаны, то есть полную.

49:41 Матрица вот этих революционных функций и оказывается, что теперь мы можем взять и. Ну, если продефренцировать по ТВ, то по 2 параметру по 2 по 2 времени по т. 2 У нас справедливо вот это уравнение в случае, когда это 2 больше ты 1.

50:03 Вот и здесь у нас, если присмотритесь, что будет тогда уже начальным условием. До откуда можно начинать интегрировать, т. 2 не от 0, от и 2 можно начинать интегрировать, а т. 1 То есть начальным условием для 2 уравнения будет уже?

50:24 К т 1 т 1. Смотрите, что получается, да мы решаем 1 систему уравнений с известными начальными условиями и решение. Вот этой 1 системы уравнений является начальным условием для 2 системы уравнения. Но схематично это можно изобразить. Давайте да изобразим схематично схематично схематично, это можно изобразить следующим образом. Ну пусть у нас есть какой то нулевой от времени. Да здесь у нас т здесь, 0 вот смотрите, есть момент времени т 1. А есть т 2?

51:14 Мы рассматриваем т 2 больше, это 1 вот у нас. До момента т 1 мы интегрируем. С помощью 1 уравнения и получаем к т. 1 т. 1 А когда нам нужно дальше получить к от т. 1 т. 2 Мы подключаем 2 уравнение. И тем самым находим корреляционную функцию, ну, все корреляционные функции, точнее матрицу коалиционных функций, вот и. Остается только вопрос, да при т 2 меньше это 1 что делать. В смысле, вы предлагаете проинтегрировать до т 2 т 2 и потом? Можно по другому.

52:16 Можно можно записать отдельный дефолт под этой 1 здесь? Да здесь будет, а спереди тогда, да вот, но можно поступить по другому, можно протранспонировать. Это то, что мы здесь нашли, и у нас т 1 то 2 как раз меняется, местами понятно, да? Мат, матрица корреляционных функций можно протранспонировать и тогда меняется местами. То 1 т 2 да по свойство записаны на чуть ранее, так? Но это у нас в нестационарном случае в стационарном случае получается чуточку проще.

52:55 Давайте запишем, где это, а давайте здесь запишем. В установившемся Все режимы. Что мы имеем в установившемся режиме, мы рассматриваем с вами случай, когда начальные условия, где то остались далеко далеко. И мы подошли, вот каком то там ты 1 и смотрим. Что у нас будет с? Корреляционной функцией. С матрицей к реляционных функций до в зависимости от т 2 она. 1 Но здесь что можно сделать, я записал? Я удалил само как то коалиционную систему уравнений. Самоудалек, но там вот что было записано, запишу еще раз. К ТТ было записано к т, а было там, а было, а на к от ТТ + к ТТ на транспонировании + ст.

54:16 Не приписывайте это, просто пишу, что было ранее. Вот смотрите, мы рассматриваем становящийся режим, все заглохла. Да у нас стационарный случай и что у нас получается тогда здесь с разницей времен, вот это вот. Диспрессионная матрица, да у нас получается, не зависит от времени внезапно, да как бы. Потому что она должна зависеть от разности времен. Да здесь ты одни, т как бы 0 и это получается прям. Приятная вещь, да? Получается, как то вот так. Поскольку матрица, да не зависит от времени ее производный 0.

55:10 А как найти значение этой матрицы, вот оно это уравнение? Так что так? Да, Конечно же, к от разности в ремонт, то есть здесь, к от 0 подразумевается, что это к от ТТ, да только. Да только в стационарном случае, да у нас же тогда зависит креационная функция от разности времен, и здесь это разность времен. 0 Так что мы имеем дальше, это 1 уравнение, да и для. него, причем да, не нужно никаких дополнительных условий, то есть начальные условия мы не нужны. Мы же смотрим как раз установившийся режим, да, да просто для стационарного случая, но.

56:02 Но это 1 уравнение, это уравнение обозначим 2 звездочки с индекс магии, вот. 2 Уравнение, как у нас тогда перепишется, у нас была производная по т. 2 Да ну а будет производная по разности времен, то есть Потапов, да?

56:35 2 Звездочки 2

57:02 Вот смотрите, а здесь эта картина получается попроще. Так что так? Никакого 0 тут нет. Здесь так это, кстати, при обратить внимание. Это Фритал больше к нулям, то уменьшить 0 будет другое уравнение. Там. Вот смотрите, здесь получается картина более простая, да здесь мы из. Верхнего уравнения получаем депрессионную матрицу, до которой просто не зависит от времени. Она Константа, а из 2 уравнения получаем как раз уже, как развиваются корреляционные функции. И начальным условием для 2 уравнения да служит решение 1.

58:21 Соответственно, таким образом на самом деле можно найти. Дисперсия, да и взаимная корреляция, достаточно в достаточно экзотических примерах, хотя местами вот этот вот метод. Он достаточно трудоемко, но зато он дает хорошие железные ответы, с которыми трудно поспорить, вот и его удобно применять в. При вычислении так на арифмометре на машине на компьютере. Потому что вот 1 уравнение это широко известное уравнение Ляпунова, но. Но оно на самом деле линейное.

59:04 Но как бы, чтобы самому не решать, да можно попросить компьютер решить все эти методы решения уравнения Липунова, они численно хорошо проработаны. Ну и 2 уравнение, да, но это просто как то хорошо. Вам знакомо обыкновенное дифференциальное уравнение? 1 Порядка точная система охранения. Вот про метод корреляционной системы уравнений. Это все встретимся с вами через неделю, спасибо за внимание.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.