Лекция 21 | Теория автоматического управления

0:02 Так что так? Что у нас здесь, давайте да немножко попробуем включиться. Вот в эту тему, которая была про теорема Котельникова или как еще говорят Найквиста Шеннона или? То, что было про транспонирование частот, но это все очень близкие темы. Здесь это прям в прямую чисто то, что называется эффект транспонирования частот, да в чем он заключается.

0:44 Он заключается в следующем, вот представьте, мы нарисовали. Частоту. И снимаем ее с другой частотой, вот вот снимаем мы ее вот с такой частотой, да? Смотрите на точечки, да и вроде как да восстанавливается исходная, так? А теперь представьте, что мы возьмем. И проведем, ну, Ну, то есть шаг дискретизации возьмем в 2 раза меньше. Шаг дискретизации, наоборот, в 2 раза больше частоту дискретизации в 2 раза меньше. А вот так вот вот. Все еще также синусоиды, да?

1:44 Так где бы тут побольше потребуется? Так вот, а теперь еще в 2 раза сократим. Частоту снятие Так ну вроде еще это синусоиды улавливается? Да если посмотреть вот на эти вот точечки, так вот, а теперь да возьмем еще в 2 раза, что получится, вот теперь получите катастрофу. Потому что смотреть стираем вот эту точку стираем вот эту точку. И вот эти 3 точки они становятся 1 такой длинный, длинный синусоиды с такой такой низкой низкой частотой, вот.

2:39 Можно попытаться, наверное, еще уловить это таким образом, да, если нарисовать. Есть нарисовать наоборот шаги дискретизации и потихонечку увеличивать частоты до которые синусоиды, которые мы рассматриваем, если мы рассматриваем. Длинные тягучие синусоиды такие не торопящиеся, они ухватываются. Хорошо, а если мы будем рассматривать? Сейчас как бы это. Уж прошу прощения рисовать короткие синусоиды. Я не мастер, а во многом не мастер, но вот в этом особенно мастер.

3:28 То получается. Понимаете, вообще вот там получается, что то такое, что. Когда мы наснимаем? На квантуем мы снимаем вот этот сигнал. С шагами там больше, чем полый период, получится уже совсем не тот сигнал, который был исходным. Получится тоже Симпсоны, какая то другая, вот. Вопрос, да, теперь остается вопрос, как выяснить, какая именно. Да что у нас здесь происходит, давайте здесь какую то картинку нарисуем, что ли?

4:12 Здесь нарисуем картинку в частотной области. Рисуем вот эти вот окошки, которые друг на друга накладывались. Да вот у нас с вами было, что мы взяли Фурье образ, и если мы хотим Фурье образ с дискретизированного сигнала, то. Нужно друг на друга наложить этот фри образ сам на себя много раз, сдвинув его на окошке. Вот теперь нарисуем эти окошки, которые друг на друга накладываются до шириной 2 пи на т.

4:48 Но у нас что, должно быть, + ты Пината, это будет 1 окно, соответственно, у нас единица + она пи, просто будет 1 окно, достаточно пи + пи, да здесь у нас частоты, то. А здесь у нас ну что, но это х. Скажем так, Вот 2 окно будет, да еще прибавляем 2. Пи вообще 2 пенотена, здесь 2 пи прибавляем, да 3 пи. + + 3 3 Пи, ладно, давайте попробуем нарисовать, где будет располагаться Фурье. Образ нашего сигнала исходного у нас будет синус пи т натрия. Да, но Синус это 2 экспоненты, вот.

5:46 Но я нарисую здесь, не знаю, что нарисовать. Да пусть модуль, что ли, ничего не такое. Там же комплекции по хорошему надо, что то рисовать. Да, но не получится, поэтому что то типа модуля, вот что у нас там будет. Омега, чему равна и 3? И 3 да вот что мы получаем, мы получаем где то вот здесь, 1 пик. Вот здесь 2. Вот они располагаются вот в самом нижнем окне, то есть здесь пенатри, здесь она пинаты. Вот на модуль модуль модуль поставил там Синус же. Это разность, 2 экспонент еще делен на 2 и да.

6:39 Ну извините, не нарисую вот. Так дальше смотрим, 2 7 пи на 6 это уже вылезло за пи. То есть это пи + пи на 6 вот здесь, вот 7 пи на 6, ну и, соответственно, там есть ты, 7 Пинашек тоже.

7:06 Так что так? И кто еще и Симус 8 пи на 3 это? Это по моему, чуть чуть не доходя 3 педа. Я, честно скажу, от Балды написал, поэтому С. Вами, 8 Пи, натри там вот. Тоже она 8 пи на 3. Вот что остается сделать. Остается вот эти вот частоты взять, наложить вот сюда. И те, кто и те, которые слева, и те, которые справа, можно прям, взяв можно это сделать, прям. Взяв и выписав и выписав экспоненты, и просто заменить частоту, которая стоит под экспоненты. Да, на модуль, на взятие по модули этой частоты.

7:58 По вычету не 2 пи, конечно, а по вычету 2 Пида, приводя да от она пидапи. Можно так сделать, вот можно сделать. Мне кажется чуть похитрее, а именно.

8:20 Взять и рассмотреть, например, Косинус 2 пи, что там, а 7 пи на т 7 пи на 6 т вот. Давайте этот косинус. Рассмотрим как Косинус суммы косинус, суммы чего Косинус. Частоты дискретизации. И какой то еще добавки, которая будет уже входить в окно, которое нижнее? То есть, например, чтобы там можно было рассмотреть, а 2 перед да, да, да, 6 перед? Сейчас сколько там 2 пи, например, из него 2 Пита из него вычесть и добавить, что получится, получится, она 5 пи на 6 т + 2 пете.

9:27 Вот так вот. Получается так, Ну, это равно вроде равно должно быть. Так вот, теперь Косинус разности Косинус разности. Это у нас что, там был по моему произведению Косинус + произведение Синусов? Вот, соответственно, получаем Косинус, ты 5 пи на 6 т умноженное на Косинуса, 2 пи т и. И + синусы да синусы, вода 5 пи пи на 6 т на синус 2 пи т. А да, да, да, правильно минуса нет, правильно говорите, спасибо, спасибо. Да, функция четная, да плюсик там плюсик, конечно, правильно говорить. Вот вот смотрите, что мы имеем, теперь представьте! Мы вот этот сигнал, который здесь написан, снимаем в моменты времени, т.

10:39 Целы вот. Вот что произойдет вот здесь и вот здесь. Да останется только 1 вот этот Косинус, то есть вот эта вот штука после дискретизации останется Косинусом. 5 Пи на 6 т.

11:20 Ну, вычли 2 пете и прибавили, 2 пете сперва вычли. 2 Петэ, да потому что мы вот эту вот частоту теперь сдвигаем, да вот. Вот и она теперь вот эта частота да переедет вот сюда, в в ты 5 пи, на 6 а вот это переедет вот туда, в 5 пинашек. И в сумме они дадут обратно Косинус 5 пинаж ст. Вот то же самое с Синусом 8 Пи 3 натрия. Вот также вы читаете сколько, а также вы читаете просто 2 пи ты в. Получаете там еще там. Синус чего то? Да, да зачем так? Смотрите, у нас какая штука была, да?

12:25 Нас было с вами то, что. Фурье образ вот этого квантовного дискретизированного сигнала. Это есть что есть суммы в фобии образов исходного сигнала 2 пина т. н. пн в целом.

12:49 То есть мы теперь берем вот этой, если не смотреть на эти стрелочки, которые туда сюда понарисовал? Да мы вот берем вот этот вот Фурье образ, это образ, да это не сам Фурье образ, потому что он комплексный. Берем Фурье образ и его накладываем друг на себя, смещая на 1 и то же окно. И получится периодическая структура, вот соответственно вот вопрос, да как будет выглядеть? Вот это вот частотная часть этой структуры, вот в нижнем окне. И поскольку мы его посмещали, наложили на себя, то вот эти чистоты наложились все в нижнее окно.

13:33 Вот это вот как раз объясняет, в том числе такие вещи. Да почему у нас, например, сильно зашумленный сигнал? Не стоит снимать с низкой частотой, потому что все шумы из высоких частот они все вот так вот на. Нижние частоты, где у нас как раз информативный сигнал, они все туда наложится, и отношении сигнал шум будет уже не таким приятным, как при снятии с более высокой частоты. Это есть транспонирование частот, да?

14:10 Все таки непонятно, как аналитически так получается, что, когда мы дискретизуем, его получим чистый, прочный. Но как там были Дельта Пикер, да эти дельта Пики остались? Мы сейчас просто выясняем, где эти пики располагаются, вот поскольку. Скажем так, вас должно убеждать здесь, что вас должно убежит дать здесь то, что и когда мы возьмем вот этот сигнал за дискретизацию этого сигнала. С шагом 1 и дискретизацию этого сигнала с шагом 1 и дискретизацию этого сигнала с шагом. 1 Мы их не сможем отличить эти сигналы.

14:47 Вот посмотрите, берем даты, равная там 0 1 2 3 и так далее и будем получать здесь те же значения, что и здесь. То есть вот эти 2 сигнала про? Дискретизировав, мы их не отличим друг от друга. А поскольку этот из нижних частот, он, соответственно, является дискретизации сигнала этого.

15:07 Непростая тема я понял. Так что так? Но тогда давайте сделаем перерыв небольшой и потом закончим. Уже наш семистровый теоретический материал себя. Мы с вами коснулись, да немножко такой и народной темы, наверное, для. Этого семестра это вот дискретизации, вопросы дискретизации, они более характерны там для. Например, цифровой обработки сигналов. Нам бы по хорошему на самом деле следует более такими статистическими вещами заниматься. Вот и окончательная тема, которая вот у нас с вами есть в этом курсе, вот это оптимальные статистические системы.

16:25 Статистические системы. Давайте вспомним с вами. Схемку управления, где были и регулятор, и наблюдатель. Помните такое вот у нас? Регулятор. Он управляет некоторым объектом. Есть наблюдатель. Да, И здесь у нас будет небольшое изменение по сравнению с тем, что было в назначении полюсов. А где сложно елки 3 стрелки? А наблюдатель из тоска предсказывает выход, да? Мы рассматриваем наблюдателя. В целом, конечно, наблюдатели не обязательно должны быть.

17:54 Давайте запишем. Запишем и, может быть, некоторые вопросы снимутся после того, как мы запишем. Так что так? + Эль на Так сполна Ингрид Ронятся. + Ну, давайте попробуем вспомнить этот, записала итог уравнений. Вот 2 1 уравнение это что из этих вот прямоугольничков? Здесь Игрек, а здесь Икс с волной, а Икс с волной + бу + эль да + это эль Эль на Игрек ты Игрек с волной. Так 1 это объект. То, чем мы управляем. Так 02-то03-104 уравнение-это наблюдатель правильно.

19:43 Наблюдатель, это отдельная система, которую мы имеем для того, чтобы. Оценивать, каково состояние системы по ее выходу, понятно, то есть наблюдатель использует? Для наблюдения вектор Игрик до который вектор выходных переменных из системы по этому вектору Игрик. Он пытается оценить вектор Икс, получая х с волной. Что мы здесь, у нас регулятору, объект выдает игрек здесь вот. Здесь наблюдатель дает ИКС с волной, а регулятор то самое маленькое последнее уравнение, которое осталось.

20:38 Он. Соответственно используют вот этот наблюдаемое состояние Х с волной оценку оценку состояния с волной. И по этой оценке формирует управляющее воздействие, вот такова схема. регулирования с наблюдателем. Здесь У нас в принципе все то же самое, что было до этого за небольшим исключением. Вот появились, кстати, вот в и дубль в сигналы. Вы подумали, что Дельта, да это в? Это не Дельта, не ф не. Что еще не Ф, да не еще много латинская буква в маленькая?

21:35 Вот в и дубль в это шумы, это белое шуно соответственно. Да, это нет, но в это белый шум и так. У них. Есть, да? Матрицы спектральных плотностей. Здесь уже вот это это, Дельта. У наблюдателя нету шумов, потому что объект он какой нам дан такой дан. То есть это какая то система случайным, каким то шумами, воздействиями еще с чем то наблюдатель. Это система, которую мы используем, да и. Мы, соответственно, используем систему, не внося в нее дополнительных шумов. Мы моделируем, например, отдельно, где то. Да вот этот вот аналог исходной системы, до который вот с поправкой на ошибку наблюдения, так?

23:12 У вас многодетная связь. В целом, да? Здесь уже да следует записывать так, что неважно. Многомерная, не многомерная, вот. А правильно говорить, это ошибка, конечно, многомерные. Тут надо транспонировать, да это ошибка просто напросто. Вот и Взяв такую систему. У нас возникает вопрос. Как теперь нам подобрать те самые матрицы Эль Ика? То есть здесь то, что у нас. Элика неизвестна, да вот там, где у нас все было без случайных процессов, да там мы, например, могли воспользоваться.

24:15 Методом назначения полюсов, и здесь на самом деле тоже можно воспользоваться методом назначения плюсов, но мы рассматриваем другой метод. Да вот мы рассмотрим то, что называется линейное квадратичное гаусоуправление.

24:36 Но для начала. Зададим следующим вопросом, рассмотрим. Ошибка наблюдения е Егок вот. Как икс ты икс с волной? Каково получается уравнение для этой ошибки наблюдения, давайте его запишем. Ну видимо. Да резон, ну из 1 трети удобнее, потому что тогда получим слева, есть точка. Хорошо получаем. А на е явно да, но там будет вы помните не только, а да там будет. А * * тельце На е. Потому что Игрек ты Игрек с волной, да вот эту вот вещь это что есть, это есть.

25:55 Це на е. Так что так? Так до ушло + дубль в. Так так, ну и штамп будем иметь +. + В ты, Эль, на дубль В. Помнишь, что то такое, да? Оба шума вошли в это уравнение. И и теперь приятно. Это уравнение вам дико должно напоминать уравнение, которое мы исследовали пару лекций назад. Смотрите, здесь уравнение для развития. Уравнения эволюции ошибки оценивания, то есть ошибки оценки, да и. Это оценка, да это есть вектор, ну ошибка, ошибка оценки, да есть вектор.

27:11 И это вектор случайных величин соответственно. Мы, если хотим рассмотреть точность нашей системы, точность не все с ним, а вот точность работы наблюдателя, то. Тогда нас интересует, конечно же, дисперсия этих ошибок. Да, но у нас с вами есть ответ не совсем на дисперсии. У нас есть с вами ответ на более приятную вещь.

27:35 На Матрицу ковариаций. Ошибок наблюдения, соответственно, соответственно, давайте запишем ксу, к революционной системы уравнений. Что мы будем иметь? Мы ее обозначим к с индексом Е. Что мы будем иметь, мы будем иметь, а минусы и цены. Да, рассматриваем установившийся режим, мы сегодня с вами будем только установившийся режим смотреть. Да, поэтому можете даже пометить в скобках стационарных. Ну, Прям в самой теме стационарный. Так что так? Помните, да, а на к + к на транспонированы и там было + БСБ транспонированы.

28:55 По моему. Вот, но здесь у нас. Шума 2 Соответственно, да вот этот БСБ транспонирована он 2 раза будет повторен. Что у нас здесь будет, но б который стоит перед вектором б? Это просто единичная матрица, поэтому здесь будет просто +. Матрица спектральных плотностей Вектора В. Просто + в большое. А здесь матрица, вот эта вот б которая, да она нам прям написано. Это матрица Эль + б с б транспонирует равно 0. Красота вот это уравнение нам что дает, вообще говоря, чем она нам дает, то каковы будут эти вот матрицы?

30:00 Вариации, где на диагонали стоять дисперсии ошибки наблюдения в зависимости от матрицы, коэффициентов усиления в наблюдатели. То есть мы выбираем разные матрицы, Эль? И решая это уравнение, получаем разные матрицы этих. Разные ковариационные матрицы, ковариаций, ошибок и наблюдения. Замечательная вещь, совершенно вот осталось только в общем виде написать решение. И найти минимум и будет вообще хорошо, так ну. Можно попробовать, конечно, таким путем пойти вот.

30:49 Здесь Наверное, будет нетривиально, но мы с вами это сделаем таким образом, давайте запишем теорему. Доказательство будет, но короткое вот теорема нам дает такую вещь, которая называется фильтр Калмана Бьюси.

31:32 Есть фильтр Калмана в для дискретных систем, он просто называется фильтр Калмана. Вот, а есть фильтр Калмана Бьюти, это для непригодных систем, вот. В чем фишка фишка оказывается в том, что конкретно в этом случае? Можно добиться минимума матрицы, то есть у нас здесь, что на самом деле вот это уравнение нам дает, решает уравнение. Мы получаем зависимость матрицы Каи от матрицы, и и мы можем у матрицы Кайе найти минимум. Вот. Как такое возможно вопрос, да вот такое возможно, если все остальные матрицы к е, который мы будем получать, которые не минимальные? Да если из всех остальных матриц к я не минимально вычитай минимальную, мы будем получать положительно определенную форму.

32:40 И тогда в этом случае как раз именно это и достигается, вот давайте запишем. Уравнение, которое нам это дает, так я подгляжу, как то уравнение выглядит, потому что я его не помню, уж простите так. Кайе. Достигает. Так давайте а сейчас сейчас сейчас сейчас сейчас сейчас сейчас минимум вот так вот кайе равен п. Достигается Паэль. Стегается. При эль равная там, что у нас будет? ПЦ транспонированный дубль в в ты 1. Так где? Т + т а транспонированная и что там, а да?

34:01 + В СДИ Б. Ц. транспланированная дубль в СП. Так сейчас. Сейчас извините, а такой вопрос. У нас матрица Шумаха у выхода должна быть. Это условие, кстати, правильно говорить здесь, в условии. Можете пометить то, что детерминант не равен 0 это условие, да? Так чтобы. Чтобы как бы проверить, что это правильно, а мы сейчас, наверное, по пути проверим, что это правильно, Амина Сальценегма.

35:17 Минимум Кае равен тому, то равен П. И он достигается прель равный. Это вот где п решение, вот это уравнение. То есть мы вот из этого уравнения, то уравнение река Те. Кстати, да вот как у нас было в линейно квадратичном регуляторе уравнения, река те, да там были 2 линейных члена 1 свободный 1. Квадрат, да здесь то же самое, но здесь они немножко в другую сторону. Там, соответственно, было, а транспонированная пи + пи, а то здесь, а и а и а транспонированы по другому расположены вот.

35:55 Соответственно, совершенно замечательная вещь. Это совершенно замечательная вещь заключается в том, что если мы рассмотрим вот теперь разницу. Матрица. Кае иП Давайте доказательства. Так как бы это написать, да, наверное, вот сейчас сейчас. Сейчас сейчас рассмотрим. Каково получается для этой разницы уравнения? Мы это уравнение запишем следующим образом вот из КСУ. Вычтем, да вот это вот уравнение Рекате. Вот. И запишем, то есть вот записываем ксу ты рекате.

37:23 Что получается получается? А что, Ельце? Вот давайте умножим на к е ты, П. + К е ты п умноженное на то же самое транспонированное. Да, А теперь все вот эти вот. Лишние члены, которые мы внесли, которые остались после вычитания, запишем рядом друг с другом, что там будет. Так ну во 1 в сократится уже приятно, во 2 ну давайте начнем с эль дубль в эль транспонированных. Эль транспонирована. Вот и теперь запишем парочку членов, которые мы написали сейчас. Лишние у нас сейчас есть лишние, это что это по моему п на Ельце? Да вот вот здесь тельце на п., лишний здесь п. На лице транспонированные лишние, соответственно их надо вычесть теперь, тыль ц на п.

38:52 И и и, п, на ц транспонированная. Или транспонированная? Ну и + п. Ц транспонированная дубль в и * ц П. Это равно 0. Такое. Да, мы теперь получили правильное уравнение Ляпунова для К. Я ты по вот для этой разницы. Да, но вот давайте сперва обратим внимание вот на все. Вот эти члены, которые здесь остались, здесь есть некоторый фокус. Вот. Не очевидно, чему они равны, нет. Нет, не 0 только в 1 частном случае, они равны 0. Получается, следующее ты, П.

40:11 На ц. Так что так? Це транспонированная. Там дубль в ты, 1 наверное, так да как то вот так вот на дубль в На. - + Публь в ты 1 транспонированный. По моему, так давайте проверим. Эль дубль в Так сейчас вот тут ошибка, где то есть так эль дубль в эль не получается. Сейчас сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, сейчас. Проверим. В Дед 1 это правильно, там ты 1 правильно. 10 Минут А нет, все нормально, что я паникую.

41:17 Вот 1 слагаемое получается вроде получается, давайте посмотрим на 2. Вот это слагаемое, если мы умножим эль вот на это, то вроде получается. Дубль в с дубль в сокращается, да ц транспонированный переходит в Ц. Транспонированный остается это матрицу симметричная рецепты, вот также это слагаемые. Получается, и самое правое слагаем получается из 2 вот этих, вот да, да?

41:53 Смотрите, какой интересная вещь получился! Вообще говоря, вот здесь вот квадрат. Вот и и теперь, имея вот здесь квадрат, мы можем на самом деле записать вообще фантастическую вещь. Мы можем записать то, что Ке * * п, то есть Интеграл. Вот экспоненты, а? - Нужные на т вот на все вот это. Она симметричная и не надо транспонировать, это же матрица ковариации. Тоже симметрично, да? Но дуб, да? Да, но только здесь, наверное, ее симметричность. Все таки следует из уравнения, лучше говорить так так.

43:04 Что мы здесь имеем, ты п. Ц транспонированный дубль в СТОРЫ 1 транспланированная на экспонента. Вот, а ты, Эльце транспонированный ТДТ. Уравнение Ляпунова можно записать решение, оказывается в виде Интеграла. Вот такого. Как давайте отдельно запишу, да что это значит? Что это значит? Замечание. Так ну здесь сразу можете пометить, да? То, что под интегралом здесь стоит, вообще говоря, квадрат, умноженный, на что то на что то на на экспоненту, да? Неотрицательную получается, это положительно определенная матрица. Здесь то, что если мы вот эту матрицу слева и справа домноженный, какой то столбец. Складывается чисто прям квадратик слева на строчку, справа на столбец складывается чисто вот справа. То, что да, здесь стоит, вы транспонированы то, что стоит. Слева получится просто квадрат, то есть вот это конец доказательства. Это получилось, что к я, ты пэй, это была не отрицательно определенная матрица, вот.

44:32 Здесь вот замечание запишите, откуда такой фантастический классный интеграл. Чание. Решение. Уравнение Ляпунова. Которая у нас там что было, а да + а транспланированная, + какую бы матрицу написать. Пусть будет на 0 можно. Выразить. Так что так? Икс равняется отыграл 0 до бесконечности экспонента АТ на б экспонента, а транспонированная т. д. т. Это в том случае, когда, а матрица устойчивая, вот когда она неустойчивая, это не будет сходиться Интеграл.

45:54 Но по традиции мы рассматриваем решение вот уравнения. Река те, которые стабилизируют матрицу, а она сельце у нас там были стабилизирующие, а ты, БК. Здесь стабилизирующие, а ты сельце и, соответственно, матрица, а ты сальце она является устойчивым, поэтому можно записывать решение в таком виде.

46:16 Вот получить вот это утверждение, вот отсюда перейти сюда можно достаточно. Просто, если вы рассмотрите, Интеграл не от 0 до бесконечности, а от 0 до т. Вот и По моему, надо рассмотреть такой интеграл следует. Из Предела при тест стремящейся к бесконечности Интеграла от 0 до т экспонента, а Теминустал б экспонента, а ты не устала? Вот ну ну, то есть рассматриваете, вводите такой параметр до дополнительно и увидите, что получается вот это вот уравнение. Ну, точнее, там получится икс точкой равно этому. Да вот, но при бесконечности в пределе получаем решение уравнения Липунов.

47:21 Вот вот, собственно, все доказательство, что можно сформулировать прям четко. Да при каких условиях достигается минимум прям целой матрицы? Матрица тоже бывает минимум, вот и тут даже видно, да когда. Этот минимум достигается, да когда вот эта матрица коэффициентов усиления. Эль равна тому, что стоит вот здесь, вот ты. Ну, то есть вот это п на ц транспонировано дубль в ты, 1 вот вот эту матрицу.

47:54 Коэффициентов усиления атаковал. Соответственно. Таким образом, мы получаем прям вот фильтр. Калмана дает прям такого идеального наблюдателя, то есть наблюдателя линейного наблюдателя. Лучше не найти вот это прям вот лучшее, что могло случиться с наблюдателями. Вот оно написано вот здесь, вот.

48:22 Но фильтр Калмана это только половина истории, потому что, взяв в руки наблюдателя, нам еще нужно взять откуда то регулятор. Вот и давайте на эту тему запишем. Небольшую теоремку без доказательства, ну как небольшое. Если бы записывались, доказательством было бы совсем не небольшое теорема. Эл ку Джи. Квадратичный линейный квадратичный гауссовый регулятор. Так, а сейчас? Сейчас. Минимум. Функционала. Равная. Матожидание предел при тест стремящемся к бесконечности.

49:39 Единица на т интеграла от 0 до т. Икс. Ну, скажем тогда, Икс, КУ Икс, транспонированная + у транспонированная ДТ. Доставляет. Давайте. + Элкоэр. Если мы хотим. Найти минимум вот такого функционала. В той схеме управления, которая была нарисована выше, исходно. Вот вот, берем ту схему управления, где регулятор она к Икс с волной, где есть наблюдатель. Да вот то тогда минимум вот такому функционалу доставляет. Фильтр Калмана + отдельно линейно квадратичный регулятор, вот тот самый, который у нас был.

50:53 Когда семестр назад? Соответственно, фильтр Калмана нам дает. Дает матрицу коэффициентов наблюдателя. Ну потому что это и есть наблюдатель, а линейно квадратичный регулятор нам дает матрицу коэффициентов. Регулятор. Вот и вот это, да, есть принцип разделения управления, да на наблюдение и регулирования по наблюдаемому вектора состояния. Только этот принцип, выраженный уже никак у нас там было до. Помните диагональную матрицу мы делали, ну, блочно диагонально. Но это было то было в случае с методом назначения полюсов, а вот в статистическом случае, да это уже получается фильтр Калмана и линейно. Квадратичный регулятор линейно квадратичный регулятор применяется вот так же, как и в случаях.

51:57 Как и В случае не статистическом. Да, Но смотрите, да у нас есть такой функционал, есть в виде ограничения. Вся та система, которая была выписана 5 уравнений, да и вот этому функционалу надо достаточно как каким, то образом минимум. Вот так вот его минимум реализуется в том случае, если мы, ну и в той системе, у нас неизвестные матрицы. Эль и к все остальные матрицы там заданы, вот соответственно минимум этому функционалу.

52:40 Доставляет тот случай, когда мы матрицу Эль берем по фильтру Калмана, который у нас сейчас рассматривали. Да вот по тем формулам, а матрицу к берем по формулам линейно квадратичного регулятора, которые у нас были в детерминированных системах.

53:02 Вот и помните, еще с линейным квадратичным регулятором у нас была совершенно замечательная вещь. Мы гарантировали запасы устойчивости вот так вот вот в этом. случае, если мы берем уже фильтр Калмана и линейно квадратичный регулятор, их так вот вместе сцепляем. Никаких запасов устойчивости гарантировать нельзя.

53:26 На этот счет было много ожиданий в 70 годах у людей, которые занимались управлением у исследователей, которые разрабатывали как раз теорию управления, но в конце 70. Мужчина по фамилии Дойль публиковал работу, где показал, что вообще говоря, никаких запасов устойчивости гарантировать в этой схеме управления невозможно. Но и после этого теория управления шагнула уже в более крутые методы, которые сейчас уже является мейнстримом всякие методы, типаж, бесконечность.

54:15 На этот семестр, да и для этого курса. Это, собственно, весь теоретический материал, который мы с вами имеем. Следующий раз пишем контрольную, через раз встречаемся. Для консультации, ну а на сегодня все хорошего вечера.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.