Лекция 4 | Теория автоматического управления

0:00 Так что так? Давайте приступим, чем мы занимались с вами до этого. Ух ты что, в натуре, действительно динамическими звеньями классно? Вот а что мы про них знаем? Вот нам говорят. Ну, мы такие там занимаемся теорией управления. Да вот мы говорим, мы сейчас сделаем регулятор, вот да. Да и как то с нас спрашивают классно, нам вот для этой машины нужно сделать регулятор, который там что нибудь выполняет. Да какие дает нам техническое задание? Вот и мы говорим так, но нам, чтобы, наверное, сделать регулятор для машины, нужно знать модель машины.

0:45 Было бы резонно попробовать там что нибудь да как че нибудь сконструировать, посмотреть. Да какой вообще закон управления будет для соответствующей машины в зависимости от того, чего мы хотим? Достичь, но в моей практике тоже касается самолета. Нужно управлять самолетом, нужна модель, самолет нужно, нужно что то знать про самолет. Вот мы с вами описываем все, включая и регулятор, и.

1:11 И объекты, которыми мы управляем, и все, что с ними связано, мы описываем с помощью так называемых динамических звеньев. Но чтобы описать динамическое звено, что нам нужно иметь?

1:32 Скажем так, в курсе, например, обыкновенных дифференциальных уравнений. Вы представляете, какой то объект в виде уравнений так, а мы в виде чего представляем объекты. И регуляторы, и все, что с ними связано, мы можем тоже видео, как на передаточной функции. Мы можем представлять, например, весовой функции или переходной функции, но.

2:01 Имя чуть посложнее будет, чем передачник. Вот то, что касается теории управления, да там все в передачных функциях, все все, все там, в передачных функциях. Хорошо, так, ну вот взяли мы передаточную функцию. Вот взяли мы передаточную функцию у. У нас была классификация, да можем что то про нее сказать умная. Да, является она реализуемой, не реализуемой или является это звено дифференцирующим, интегрирующим позиционным, вот вот самое простое. Нам дали передаточную функцию, и кто нибудь у нас спрашивает. Слушай, вот там вот как бы тот объект, который тебе дали и которым ты соберешься управлять. Он вообще устойчив или неустойчив, ну сам по. Себе внутренне то, что есть объект, который уже устойчивый, в основном они и встречаются. Да, но и есть которые неустойчивы. Вот мы что, нибудь с вами можем сказать про это, глядя на передаточную функцию?

3:06 Есть какое нибудь мнение? Да, это неплохо про там, про характеристику уравнения, так? Так так, что можем что нибудь сказать, глядя на передачную функцию? Нет идеи, да ну вот после сегодняшней лекции. Вы, надеюсь, не будете так запинаться, когда вам будет давать передачную функцию спрашивать, а устойчива ли она большинстве случаев? Вы будете, глядя просто на передачную функцию говорить, да или нет, опа все пропало. Итак, устойчивость для начала, чтобы нам с вами вообще как то приблизиться к устойчивости. Мы начнем с того, что до приблизимся к тому, что такое понятие устойчивость до динамических систем в целом, итак.

4:17 У нас есть система у системы, ну просто вот икс, точка равна и фатекс. Здесь мы, разумеется, подрезаем то, что она с каких то мерные, да. Икс, это то, что мы называем фазовый вектор. Да вот и просто абстрактно система, мы сейчас не даем этой системе ничего на вход, да вот. Видите, тут нету никаких управляющих, здесь просто собственное движение системы и так собственное движение системы в этом движении. Есть такая замечательная вещь, да как положение равновесия. Вот мы сейчас с вами рассмотрим различные примеры, да, но это тогда, когда.

4:57 Такое положение системы, в которой мы систем поставили, она там остается. Вот и, может быть, вы помните вас в том или 2 года назад был курс аналитической механики? Вы рассматривали вопросы до устойчивости уже вы даже оттуда, что то помните. Часто возникают слова, что прорвался Гурвица. Вот соответственно, как мы определяем вот это положение равновесия, когда оно устойчиво. Вот просто определение прям вот устойчивость Полипунова то, что есть. Вот тут разве что следует сказать, да то, что обычно это формулирует на языке эпсом Дельта. Да что там для любого эпсалон, да больше 0 существует такая дальше? Что, если мы хотим систему ограничить каким, то ну.

6:02 Ну, скажем, траекторию системы хотим ограничить каким то шаром, то соответственно мы должны эту систему изначально поместить какой то другой. Шар, скорее всего, меньшего размера. Вот вот об этом, собственно, говорит понятие устойчивость, причем, заметьте, здесь устойчивость идет не про. Систему, которая эф от Икс, здесь устойчивость, речь об устойчивости идет про положение равновесия этой системы, здесь положение равновесия может. Быть много, да система 1 этих положений равновесия много или какие то из них устойчивы, какие то неустойчивы в дополнение к этому определению.

6:45 Да, есть такое понятие, как асимпатическую устойчивость, это когда выполняется вот это требование, да и +. Да, да, да, да в том, что из этой окрестности, да из эпсилон. Окрестности. Система уходит на бесконечности обратно в х. 0 Хорошо, хорошо, но вот здесь есть 2 замечания. Так так вот, значит, во 1. То, о чем мы с вами говорим, это вообще говорят частный случай применения понятия устойчивости вот понятие устойчивости Полипунова. Она, вообще говоря, введено в более общем случае, она введена относительно любой траектории, не обязательно траектории. Которые являются такой тривиальной, вот и кому. Интересно, откройте и посмотрите внимательно. Да, то есть там речь идет про возмущение относительно, какой то вот уже заданной траектории, который не является просто 1 каким то положением, а у которой есть.

7:57 Какое то изменение, вот и 2 замечание касаемо то, что дальше, когда мы будем говорить про устойчивость, мы будем подразумевать асимптотическую устойчивость. То есть в нашем курсе до понятие устойчивости, это асимптотическую устойчивость? Устойчивость, поэтому так? Ну вот, несколько примеров. Любимый всеми пример, да шарик на гладкой поверхности. То есть мы кидаем шарик, на какой то поверхности? То Минимум и максимума этой поверхности можно рассматривать как положение равновесия.

8:40 Потому что мы в это положение равновесия. Шарик кладем, но там остается. Но это в математическом смысле, если мы, конечно, сделаем в максимум поверхности до в бытовом смысле. Положим, шариком там по останется только. Некоторое время, ну, может быть, защита трения будет стоять. Да, так в целом не особо и как раз в этом заключается смысл в устойчивости неустойчивости. Те положения, которые максимум они неустойчивы, которые минимум устойчивы. Так другой пример, да это маятник обыкновенный маятник здесь только. Он не на нитке, а на стержне этот маятник подразумевается. Вот нарисован до фазовый портрет для этого маятника, без насколько видите, без.

9:34 Этот фазовый портрет на этом фазовом портрете вы можете наблюдать 3. 3 Центра, которые являются. Вообще говоря, нижним положением, да то есть здесь, что подрезается. Здесь нарисуем по оси х здесь угол, да и. Да, а по оси горизонтальный угол, а по оси вертикально до угол. С точкой нарисован на этом фазовом портрете, то есть там тета и тет с точкой. Вот и здесь вы видите вот это нижнее положение равновесия, оно повторено трижды. То есть? Вообще говоря, по хорошему мы не должны быть тут 3 точки рисовать. Да, в общем, это просто 1 точка, мы уже не рассматриваем, как это 3. разных положения, да когда внизу до оставили матник, прокрутили несколько раз, снова стали не звучат какое то другое положение, да нет тот. же, конечно же, вот поэтому по хорошему вот этот фазовый портрет для маятника нужно рисовать не так вот на плоскости, вот а нормальные. Люди, вот если вы открыть, например, книжку Арнольда, да у него там будет нарисовано, вот будет нарисован этот фазовый портрет на цилиндре.

10:45 Вот потому, что там угол, да вот эти вот разные положения угла. Они, вообще говоря, отождествлены, чтобы соблюсти топологию соответствующую, да она. Нарисована там, на цилиндре, тут такой любопытный момент. Так ну давайте перейдем к чуть более простым примером, пару примеров касаемо самолета.

11:09 Вот с самолетом все проще. Здесь что, вот традиционно принято делить в динамике полета? Движение самолета на продольное и боковое, соответственно, продольное движение самолета. Это вот движение плоскости симметры, представьте, нет. Никакого крена, ничего, да просто вот ровный самолет и его, по сути, совершает движение только в вертикальной плоскости. Ну что, у него там есть скорость полета, высота полета, ну какие фазовые координаты?

11:45 В плоскости симметрии самолета можете написать в. Вертикальной плоскости вот. Вот что там есть высота, скорость угол тангажа есть, потому что он как твердое тело, как то ориентирован до угол атаки, есть. Вот я назвал сейчас вам 4 фазовых переменных, а их всего 6 подумайте, какие должны быть еще 2. Обычно, кстати, эти вопросы ставят в тупик людей, которые прошли курс динамики полетов людей, которые не прошли курс динамики полетов. Почему то такие вопросы меньше менее ставят в тупик, особенно? На зачете по динамике полета они почему то теряются, когда у них спрашивают, какие фазовые перемены участвуют в движении, которые мы с вами сейчас рассматриваем. Вот вы подумайте над этим, вот а. Потом задайте вопрос тем, кто пошел курс ненавиги поет. Интересно, что они вам ответят, вот и так? Но то, что вот здесь вот нарисовано, да вот это движение какой то самолета, но она такое выглядит. Как нечто похожее на устойчивость было какое то начальное возмущение. Похоже, потихонечку затухает, так вот вопрос. Да что является положением равновесия при исследовании этих задач продольного? Движения самолета, а Положением равновесия является горизонтальный полет, то есть установившийся четкий ровный горизонтальный полет. Без каких либо кривых движений это положение равновесия для. Самолетов, задачи исследования его движения, то есть это такое. Она заставляет задуматься, потому что на самом деле Ф с точкой. Ой, Ф, от Икс, до который Икс Точка, но не будет равно 0 для каких. То Икс оно будет равно, 0 но не для всех то, что он же летит. Мы же не можем взять самолет, остановить, подвесить, да и сказать. Вот давайте следовать его динамика относительно этого положения. Когда вы вот просто отпустили, это не интересно, это не ну, может, не в определенных редких случаях. Это интересно, но в целом да в практике интересно, не это интересно рассмотреть, да вот именно.

13:46 Вопросы устойчивости, управляемости самолета относительно именно какого то движения, в основном это горизонтальный полет. То же самое касается, есть еще вот 1 тип движения, который называется. И все совсем плохо, которая называется боковое движение самолета. Это уже маневрирование как раз вот по крему, по скольжению. Если кто знает, там угол рыскания есть такое еще это. Это все остальные фазовые переменные, то есть всего их у твердого тела. Сколько там, 12 да получается, брошена в атмосферу? Вот 6 ушло на продольное, 6 еще осталось на боковой, вот она.

14:40 Что мы имеем, ну вот. Вот здесь вот нарисовано, смотрите. Здесь нарисованы. 3 Варианта движения самолета, при каком то возмущении в боковом движении, вот когда дали ему немного крема. Да вот смотрите сверху, этот самолетик ОП ОП взял и обратно выровнялся в крен равный, 0 вот, а? А вот Нижний, да он ему дали немного крена, и он дальше продолжил крениться, развиваться, как то уходить из положения. Равновесия, положение равновесия, то же самое, все тот же горизонтальный полет вот. Это соответственно пример нижний неустойчивого поведения. И что самое интересное, кстати, в практике след динамики полета, да и вообще просто в практике в инженерной практике построение системы. Управления самолетов определенной степени устойчивости. Вот такой именно допускается, но это так чисто, как любопытный факт, но только определенная степень. Вот вообще хорошо, если он устойчив, так? Более менее вот, но допускать, чтобы он даже был слабо неустойчив. Но это вот это достаточно редкий случай, когда что то такое допускается в системах. Обычно, конечно, ничего такого не приемлет.

15:57 Итак, Вопросы устойчивости, да, да и вообще не просто вопрос устойчивости. Многие исследования систем динамических, да они проходят через лионелизацию. Давайте вспомним, что такое лионеризация динамической. Вот есть какое то нелинейное уравнение с новой ИКС точка равно и фаты ИКС есть положение равной сикс. 0 Так вот что мы с вами делаем, мы берем вокруг этого в окрестности этого положения равновесия.

16:30 Раскладываем в обобщенный ряд приоры. Так ну так дфп д Икс до 1 производной до вы помните эту матрицу, получается так? Но и здесь СВП Слагаемое высокого порядка очень. Я не хотел писать там нормы модули и все такое, поэтому просто слагаем высокого порядка. Так ну и дальше, что мы делаем дальше, мы берем. Принимая во внимание то, что эф от икс нулевого, вообще говоря, в положении равновесия это 0. Бери, а икс ты икс 0 за дельту Икс. Переписываем.

17:13 Да вот. Полученные утверждения. Следующим образом мы переходим от ИКС точка равно афотекс. Да к дельта Икс точка равно, а на Дельты ИКС и + слагаем высокого порядка, то есть. Пока это все еще тот дифур, который верхний, но просто с разложенным по туйлору. Вот, а теперь да мы берем и слагаем высокого порядка, выкидываем. Просто вот только вот этот Анна Дельта Икс и все справа. А дальше занимаемся исследованием этой системы, этот процесс называется линия реализации, так?

17:54 Вот. Вопрос. Вот мы дальше исследуем эту линейную систему, которая, вообще говоря, без слагаемого высокого порядка. Почему те выводы, которые мы сделаем при исследовании этой линейной системы, должны иметь вообще, как говоря какое то отношение к системе исходной? Она же была не линейной, а мы взяли и заменили ее линейную. Конечно, да, мы вывели из исходной как то, но почему между ними есть какая то связь? О поведении в нашем скопом, когда то. Не ну когда то можно, да вот когда можно.

18:42 Так правильно, да там было 2 даже теоремы и обе теоремы Ляпунова называются. Это замечательно, да вот так вот правильно говорить была теорема. Если у нас есть лионелизация динамической системы, заметьте до вокруг положение равновесия, к 0 то есть вокруг разных положений равновесия. Это будет это, будут разные линейные системы, получается вот то. Тогда мы можем, что сказать, мы можем сказать утверждение 1 теорема об устойчивости. Если линейная система получилась устойчивой, соответственно, исходная система относительно вот этого положения равновесия.

19:29 Тоже устойчиво. И наоборот, теорема неустойчивости, если получилось неустойчиво, то исходная система тоже неустойчива. Вот здесь есть 2 новости, плохая и хорошая. Плохая новость заключается в том, что в том случае, если линейная система оказалась на границе устойчивости. То по лионеризации да мы ничего сказать не можем дельного. Ну, то есть нету готовить арену такой красивой и не. И замечание 2 хорошая новость, да в чем заключается, потому что вообще говоря, нам это и не нужно.

20:21 В инженерных приложениях. Система, которая находится на границе устойчивости, они вообще говоря, встречаются. Крайне редко. Обычно вообще говоря, когда делают, например, какие нибудь регуляторы делают так, чтобы не то, что о границе устойчивости была речь. Делают их с запасами, то есть есть такое понятие запасы устойчивости, мы с вами через пару. Занятий к этим понятиям перейдем, вот и там ни о какой границе. Устойчивости не идет речь, то есть там мы должны быть далеко от границы устойчивости как раз запас. Устойчивости говорят нам о том, насколько мы далеки от границ. Это поэтому нам это вообще говоря и не нужно исследовать систему, которая находится на границе, итак.

21:18 Давайте. Нет, нет, нет, конечно, это граница, это переход от неустойчивых к устойчивым. Это когда собственные числа или полюса лежат на мнимайся? Так вот, сейчас мы, собственно, об этом и поговорим. Да что значит, что линейная система представлены да в таком виде, в каком мы только что я получили к с точкой? Да равно, а и но сейчас Дельты эти выкинем дельты и сами нам только. Мешаться будет, поэтому игнорировать так. Ну, давайте возьмем задачу каши, начальные условия и икс точка равно, а на Икс как будет выглядеть общее решение. Тут не видно, надеюсь, в этот раз не видно, да я совсем угроб прозрачности.

22:15 Не увидеть. Умноженное на Икс, 0 правильно? Так хорошо соглашусь, вот теперь экспонента от матрицы, да не это прикольная классная конструкция. Да, но как бы нам от нее перейти от нее, уйти от экспоненты матрицы, чтобы что либо сказать про собственные числа?

22:54 А что разложить? Можно можно, ага? Ага, ага, ага, ага, ага? Ага, ага, хорошо вы имеете в виду привести матрицу к жардановой форме? А да и тогда экспоненты от нее выражаются легко и красиво. Да можно таким путем я рекомендую глянуть вот на такой тут другой несколько оказывается. Если вы зафиксируете какую то матрицу, вот возьмите матрицу, а будете исследовать разные функции от этой матрицы. Вот ну сначала побалуетесь немного многочленами, да, а потом перейдете к более серьезному, чем ну тоже экспонента. Там Синус Косинус, ну еще чем вы посмотрите, то тогда вы вообще говоря. Все эти функции от матрицы их можно представить 1 таким красивым выражением. Никто не знает разложения по компонентам функции от матрицы, мне не знакомы.

23:52 Просто по компоненту вот разложение матрицы покупали, а линейно независимо, но это так уточнение. Вот матрицу, а можно разложить в сумму каких то матриц. Относительно которых потом функция от исходной матрицы будет иметь достаточно красивый вид, мне не знакомы. Ну ладно, тогда вот вам спойлер на этот счет будет спойлер, будет вот он. Вот открываете книжки по теории матриц практически любые, там вот это вот найдете. Оказывается, возьмем матрицу, а то любая функция от этой матрицы, а представляем следующим образом, где лямбда это собственно числа этой матрицы и.

24:40 Зет это какие то матрицы как раз компоненты, исходная матрица. Которая определяет значение функции от матрицы. Здесь это разложение представлено для случая, когда у матрицы нету кратных чисел. Если кратные собственные числа есть, то тогда будут еще производные это. Просто какие то матрицы матрицы у нас квадратные, да и на Эн, скажем, они тоже будут квадратная мм, а ф от лямды. Это значение, собственно, функции в точках лямбы. Это собственное число матрицы Лямбда, 1 тирлям ДМ собственные числа матрицы, а?

25:34 Так так вот, воспользовавшись этим разложением, да мы сразу перейдем, вообще говоря, к экспонентам просто не будем делать никаких других шагов сразу. Экспонента от Лямбда 1 то и экспоненты Лямбда и ТТ. Потому что мы рассматриваем какую теперь функцию, да мы рассматриваем функцию да сейчас какую. Например, Ф от там чего, ну от Икс занят эф от Зет. Да, Эф, от Зет равная экспонента ЗТ не просто экспонента ЗТ, поэтому здесь и АТ получается, и Лямбдт в Нижнем. Разложении уже когда подставили, вот ну соответственно, глядя уже на это разложение по экспонентам от просто скалярных лямбд. Мы получаем, что если хотя бы 1 из Лямбд.

26:31 Имеет положительную действительную часть, то при правильном подборе начальных условий. Из любой окрестности, собственно, 0 мы будем получать. Растущее решение растущий модуль решения норма на растущую норму решения не ограничен. Вот это это и есть неустойчивость, поэтому. Чем у нас? Система ИКС точка равно, а ИКС да устойчиво только в том случае. Да если у всех собственных чисел действительно части лежат, что называется. В левой полуплоскости все собственные части лежат в левой плоскости, либо действительно части отрицательные.

27:23 Глядя на экспоненты вот здесь экспоненты, да если экспонент отрицательной действительной части, все хорошо решение уходит к 0 обратно. А если есть хотя бы 1 положительная, то подобрав начальные условия, да из любой окрестности мы будем уходить на бесконечности. Но это так размахивание руками вы можете более строгий аргумент дать с учетом того, что эти компоненты линейно независимые. Так теперь то же самое, да, но только в терминах передачных функций. То, что там было в терминах матричной системы в матричном виде, а теперь вот в терминах с придаточной функцией, как там быть?

28:07 Мы, когда занимаемся вопросами, определяем, что такое устойчивость, мы полагаем, что рассматриваем систему, точнее, собственное движение. Системы рассматриваем на вход с ним, подаем 0. Ну, точнее, когда то подавали, не 0 сейчас подаем ноги, смотрим, что с ней будет дальше.

28:27 Кстати, так делать не всегда, но тем не менее делаем так, да и в случае с передачной функции получается что то странное. Да, то есть мы на нее подаем. 0 Да она же мы же знаем, что это отношение образов Лапласа выхода ко входу. То есть мы, чтобы получить образы Лапласа выхода, что будет там на выходе систем, подаем на вход, 0 умножаем на передаточную функцию? Собственно, какая разница, какая там передаточная функция получается, 0 да вот то далее?

28:59 Есть как бы таком такой постановке ничего не получается, почему ничего не получается. Потому что когда мы определяли передачную функцию, мы задавали то, что у нас все начальные условия, нулевые. Вот у нас все начальные условия, нулевые + подаем на вход 0 не. Ничего не получить и на выходе 0 удивительно действительно. Да так получается, вот ну чтобы от этого как то уйти, чтобы все таки. Получить какие то начальные условия и при этом не морочиться. Вот с этими разными дельтами на входе поданы, да давайте запишем обратно.

29:34 В терминах М и Л. Да какое было уравнение движения у системы вот уравнение движения системы, да какое оно было? Вот если взять вот эти многочлены, мм, берем рационально до передачную функцию многочлены и числитель, и знаменатель, какое уравнение движения. Да, да, да и на производной там иксаю, да согласен, можно это записать. Как то примерно так, да что мы. От производной до от оператора взять производную умножаем на ИКС, да и справа, должно быть бы м от производным. Нужно на у Даны, поскольку выпадаю на вход. Но то просто получил вот собственное движение, которое определяется таким управлением, вот и характеристический многочлен этого уравнения о сюрприз какой.

30:43 Просто м да? Вот. Так что так? Соответственно, он является, заметьте, с доминателем передаточной функции. Это характеристический многочлен соответствующей системы, и теперь тогда общее решение. Это уравнение до записывается как суммный экспонент, да с.

31:16 Корнями характеристического многочлена. Со степенью Каролины сумный эксперимент с показателями в виде корней характеристического многочлена. Вот ну и та же самая история, да получается что то все. Корни характеристического многочлена, а точнее знаменателя передаточной функции должны лежать в левой полуплоскости. Но чуть чуть забегая вперед до скажу, что если мы рассматриваем систему с 1 входом и 1 выходом, то тогда. При представлении в матричном представлении и вот это представление в виде передачной функции получается вполне конкретная связь. Что тот самый характеристический многочлен, который Лямбда и что терминант?

32:22 Равный 0 для поиска корней, он же получается и знаменателен в передачную функцию. То есть чисто вот так знаменательно передачная функция, это и есть характеристики для членов сходной системы. Так ну вот таковые сходные, так сказать, определение устойчивости для линейных систем, так? Если записать это. Чуть чуть там, в других терминах, то, что мы можем сказать. Что система устойчива, либо когда полисы системы лежат в левой полуплоскости, а полисы это соответственно корни знаменатели либо.

33:13 Либо. Когда прям говорим устойчивый знаменатель передаточной функции, то есть мы. Если возьмем многочлен, какой то то мы для этого многочлена. Определяем понятие устойчивости, поскольку нас теперь интересуют только знаменатели передачной функции или характеристические многочлены исходной системы. Да то мы вводим вообще понятие устойчивости для многочлена, потому что дальше мы. Будем заниматься многочленами, но и вообще это достаточно общепринято называть многочлен устойчивым. Это вполне нормально, да в том случае, когда у многочлен все корни лежат в левой полуплоскости. Мы таким огорчением называем устойчивую вот.

33:56 И теперь давайте. Немножко. Перейдем потихонечку, начнем переходить к критериям устойчивости, так сперва начнем с необходимых условий и так. Взяли, какой то многочлен, так вот давайте запишем его таким странным образом. А 0 на Лямбдувенты на 1 лямбдаван, следовало 1 и так далее до а Энту. И зададимся вопросом. Мы уже только что смотрели, зададимся вопросом, устойчив ли он. Так как мы на этот вопрос отвечаем. Вот нам дают многочлен. Что мы делаем с многочлен, чтобы понять, устойчив ли он.

34:54 Так, да и что с коэффициентами делаем? Вот да вот вы пользуетесь критерием Раусу Гурвица, вставляете матрицу, смотрите главные миноры. Да вот, но для начала вот можно. Взять что нибудь попроще, да вот есть такая самая простая и самая 1 проверка, которую нужно выполнять. Когда вам дали многочлен, это на самом деле положительность. Коэффициент, что мы будем называть необходимым условием устойчивости вот сейчас. Вот это утверждение. Соответственно, многочлен.

35:39 Называется устойчивым, если все его коэффициенты положительные. Мы считаем, что стаж коэффициент положить до, когда нам просто дают накачан то, что если не положить, то умножаем на ты 1 и получаем его положительно. Так вот, если многочлен, который нам дали устойчив, то все его коэффициенты положительные. Но В обратную сторону это, конечно, не действует, но в обратную сторону действует то, что называется контрапозиция, это утверждение скорее всего. Здесь вот и сказано, что если хотя бы 1 коэффициент меньше, но я оказался уменьшили, брали, то тогда исходный многочлен не устойчив, гарантировано.

36:28 Это вот полезный способ, который помогает подсечь сразу много. Неустойчивых систем, ну вот пример, да нам дали систему. Там много, много, много разных коэффициентов конце, свободный член ты. 1 Вот чем мы будем все это перемножать. Там что, то складывать, что делать с этим коэффициентом, когда просто вот здесь, ну да и не устойчив. Все хватит, закончим, продолжаем дальше следующий пример, так и.

36:57 Вот такой пример, что мы про него можем сказать. Да вот я плохо помню, но по моему этот многочлен не устойчив, да тоже не устойчив, но, к сожалению, пользуясь необходимым условием устойчивости. Да мы это сказать не можем, так вот такой пример. А Простите. Да, она устойчива, к чему она устойчива. Вы открыли, посмотрели презентацию, это так хорошо. Нет, вы просто знаете, это это еще лучше, так вот. Для степени 1 и 2 для равны 1 и 2 этот же. Это же условие является критерием.

38:01 То есть если нам дают квадратное уравнение и у него положительные коэффициенты, то все это квадратное простительное квадратный трехчлен, да и у него положительный коэффициент все он устойчив. Он устойчив, но вот покажите это как нибудь на досуге. Напишите, напишите до корни квадратного уравнения. Подумайте, а почему из положительной положительности коэффициента следует, что он устойчив такое немаленькое упражнение?

38:37 Так хорошо, давайте теперь докажем исходное утверждение. Вот при н равная 1. Для Линейного случая так для 1 степени, ну вроде как утверждение. Должно быть, очевидно, что если у нас там, ну а 0 мы считаем положительно. Да если 1 вдруг отрицательный, да то корень это. Уравнение получается чего, то ты 1 делить на 0 да 1 отрицательный, получается положительный, да просто положительный. Действительно, корень явно неустойчивый, ну и наоборот, поэтому в случае. степени н равно 1 очевидно, что это является критерием и то, что соблюдается исходным утверждением. Вот давайте для степени 2 рассмотрим, но только в 1 частном случае мы не будем. Рассматривать в случае, когда у нас в корни действительно рассмотрим случай, когда корни комплексно комплексно. Простите сопряженные вот в комплекте спряженный корень альфа + * и бета вот.

39:51 Вот таким образом соответственно будет выглядеть разложение до этого квадратного трехчлена. Простить тут лямбда, 2 как то закрался тут лямбда. - Конечно же, Лямбда, ты Альфа, и Бета, лям де ты, Альфа, плюса быт. Ну, перемножили да раскрыли и увидели, какие коэффициенты вот смотрите, если Альфа.

40:14 Если Альфа положительный неустойчивый, здесь получается. Отрицательный коэффициент и наоборот, если. Альфа отрицательный, то есть устойчивым, да только в целом получается положительным. Как раз то, что нас интересует, но здесь всегда положительно. Вот так вот получается, что в линейном и квадратных. случаях если многочлен устойчивый, то коэффициенты положительные, так вот вопрос. А почему я рассмотрел 2 таких странных частных случая? Линейный случай и квадратный с комплектом сопряженным.

41:00 Достаточно, да так. Да, да, да, да, это неприводимые многочлены. То есть это те многочлены, на которые мы можем разложить все остальные? В этом, собственно, заключается фокус. То есть потому, что мы, разложив любой многочлен на произведения вот таких, вот и доказав то, что. Из устойчивости исходных исследований положительных коэффициентов вот этих вот множителей мы потом перемножаем. Все эти многочлены, которые входят в произведение и получаем, тоже многочлен с положительным коэффициентом.

41:47 То есть произведение нагачен с положительным коэффициентом, получается, нагащается положительным коэффициентом? Хорошо. Вот, собственно, все доказательство этого замечательного утверждения. Так, но это еще не все, что нам может это замечательное утверждение придаст. Ну как то необходимые условия устойчивости предоставить есть еще 1. Классное утверждение на этот счет. То есть из положительности коэффициента вообще говоря устойчивость да многочлен? В общем, случае не следует, но, но из положительности коэффициентов следует, что все действительные корни многочлена находятся в левой полуплоскости.

42:34 Вот это достаточно на самом деле полезное утверждение. Ну вот как его доказать она доказывается достаточно сложно, она методом доказательства, простите от противного или? От противоречия, вот ну что, предположим, что у нас есть неустойчивый корень и при этом все коэффициенты положительный. Что из этого будет следовать, ну давайте. Разложим этот многочлен да в произведении соответственно на лямбду ты альфа. Умноженное все остальное, да что, я думаю, на сад уже уделитель не является. Да ну поделили, вот получили, так вот раскрываю вот это произведение и рассматривая.

43:27 Условия положительности коэффициентов, полученных в полученном разложении, то есть это для старшего коэффициента, это для коэффициентов степени лямбда и для ну там для следующего вот. Для свободного, а вот для свободного человека это вот для лям, для коэффициента перед лям. Вот получаем цепочку таких вот неравенств, так вот эти неравенства можно друг с другом составить.

43:57 Вот видите, здесь участвует она тут, 0 там 1 дальше тоже будет. 1 она 1 Здесь одни, 1 так вот и тогда составь эти неравенства друг с другом получаем вполне. На самом деле такое четкое, очевидное противоречие. Нет, мы сейчас с вами показали, что. Многочлена с положительными коэффициентами не может быть неустойчивых действительных корней. Мы предположили, что у этого многочлена есть неустойчивый действительный корень. Мнимый могут быть где, не мнимая комплексность прижима.

44:49 Вот ну вот пример, да вот смотрите 4 возможных расположения корней на комплексной плоскости. Вот скажите мне, пожалуйста, какие из них возможны для кубического многочлена с положительным коэффициентом?

45:10 Левый нижний да согласен и правый нижний. Конечно, все правильно, так давайте свет, что он включен. Так что так? Хорошо, очень хорошо. Давайте сделаем перерыв и потом перейдем к. Уже конкретики. Так ну что, готовьте в вашем мозге, так? Так там, наверное, да лучше не открывать, я понял? Да давайте давайте займемся алгоритмом Рауса для проверки устойчивости 1 критерий, который у нас с вами будет. Да это собственно алгоритм Рауз, вот давайте мы его сейчас с вами сперва посмотрим, да что это такое.

46:01 Формулируем это как теорему многочлен, но и на тлям. Да это мы уже видели, да имеет вы от 0 0 0 0 0 и так далее. Корней в ППП, ну, ППП, ну, ППП, вроде правая полуплоскость. Да, да, это где то было сказано, а вот это вот вы это вообще что то непонятное. Но сейчас разберемся, что это такое для начала. Ну, многочлен остался тот же, который был те же также называем коэффициенты до старший коэффициент, называем а 0 все остальные 1 и так далее, а 2 и так далее. Так вот, в в это число перемен.

46:40 Знака в ряде чисел это числа по Нольку 0 Арнольда. То есть, если нам, например, дали какие нибудь числа, там давайте какой нибудь примерчик. Там типа в от 2 3 4 5 число перемен знака в ряде этих чисел. 0 Согласен круто, правильно, а если ты 3 и она, 4 то 2 да тогда.

47:10 Согласен, согласен, хорошо число перемен, знак времени осталось только выяснить, что это заряд такой по 0 0 0 0 и так далее. Еще и так далее написано, ну вообще класс, так? А это вот такой вот. Такая вот страшная вещь, что у нас здесь происходит. П Нольку Ной Эр 0 Эс 0. Старшие коэффициенты ну сказано многочленов, ну строг, старшие коэффициенты строк в схеме Рауза. Вот то, что здесь написано, вот здесь вот вырезана. Да, это схема, Рауза, вот по 0, по 1, по 2, потом кунольку, 1 ку 2 и так далее. Просто строчки строчки чисел, вот как эти строчки формируются по 0 и Куноль. Они формируются из коэффициентов исходного многочлена строчки, строчки, строчки, по яку формируется. Коэффициент исходного многочлен, то есть вот п.

48:14 Строчка п это четные коэффициенты сходного магазина, мы через 1 их записываем, а 2 строчка ку это нечетные коэффициенты многочленов, вот соответственно 1, 2 строчки. Записали, а остальные строчки получаем из 2 ты-1 каким образом. Ну, скажем так, Рекуррент, мы получаем из 2 она-1 каким образом. Ну или торативным, как вам больше нравится?

48:39 Мы просто берем 1 строчку и делим на другую. Что это подразумевается, это подразумевается, что мы сейчас из 1 строчки вычтем 2 умноженную на такой коэффициент, чтобы старший коэффициент? То есть мы вычитаем вот из 1 строчки, 2 умноженную, на что там на туннель зеленый куной, ну? Ну, 1 коэффициент тогда замелеется, а 2 уже не замелиться. Да он будет какой, то другой 3 тоже будет какое другое. И вот 3 строчку после того, как мы. Разделили 1 строчку, другую записываем, как вот результат этого деления. Ну то, что остаток, остаток, это будет осадка отделения, вот его мы записываем сюда.

49:30 Давайте напишу парочка каких нибудь строк, вот напишем строчку 2 5 8 10 и там строчку типа 1 3 5 1. Давайте верхнюю 1 строчку поделим на 2 вот что нужно, нужно из 1 строчки. Тогда вычесть 2 умноженную, на сколько?

49:55 На 2 именно так, чтобы вот занулить этот коэффициент. Вот вычитаем умноженное из 1, нужно 2 на 2, но только со сдвигом, то есть, но не записываем. Мы же разделили, получили 0 и его не. Записываем дальше, сюда записываем то, что получилось. Ну что, получается, из 5 3 умножить на 2 ты 1 из 8 5 умноженное на 2 республики 2 извести? 1 Умноженное 2 8 все разделили, вот получили остаток.

50:29 Вот хорошо, а Здесь здесь ничего, 0 но дальше не записываем все, как бы на этом строчка здесь закончилась. Ну, можете считать, что там 0 дальше. Из Из коэффициентов многочлена 1 строчка четная, 2 нечетная. То есть здесь я начал записывать схему Рауза? Давайте напишем, для какого многочлена для многочлена, что так посчитать боевой степень здесь 8 коэффициентов степень какая? Наверно, 7 да вот что получается 2 лямбда в 7 + Лямбда в 6 + 5 Лямбда в 5 + и так далее.

51:17 Понятно! По 12153-85-10 1. Вот здесь, да, да, да, да, да, да, да, да, да, продолжаем, пока не останется 1 единственное число, правильно говорить. Вот вот, такова схема Рауза, и теперь взяв вот эти старшие. Коэффициенты в строчках, да и взяв число перемен знака от этих рецептов, мы получаем, оказывается, количество корней сходного многочлена в правой полуплоскости.

51:51 Вообще то есть просто просто бомба, вот. Так так, ну вот давайте разберемся с этой бомбой. Что мы это сделаем? Доказательство на самом деле очень мозгозатратные, поэтому сконцентрируйтесь, пожалуйста. Поскольку я сказал, что мы берем исходный многочлен и записываем. 2 ты1 строчки как четные, нечетные коэффициенты исходного многочлена, то соответственно мы исходный многочлен сейчас с нами разделяем на 2. 1 Тот, который состоит из четных коэффициентов, а другой из нечетных. Ну, соответственно, степени лямбды, да там могут быть, у кого из них четные, кого нечетно непонятно, зависит от. Вот мы сейчас здесь с вами от коэффициентов отталкиваемся, вот соответственно.

52:52 Нулевое это счетными коэффициентами и на 1, с нечетными и теперь с вами делаем финт ушами. Просто страшнейшую сейчас вещь делаем с исходным многочленом. Вот такую мы берем из исходного многочлена, вычитаем. Это какое это где какой, то просто число здесь, это это параметры число. Мы пока его еще не определили умноженное на лямбда и на н 1 отлендер вот. Поскольку мы с вами взяли коэффициенты через 1, да и соответственно степени через 1, да то мы здесь, что с вами делаем. Мы сейчас с вами здесь из, по сути, м 0 вычитаем н 1. Умноженное вот на что то потому, что мы за счет лямбды сдвинули вот этот на 1 в сторону и 0 понятно. Да вот то есть исходным, многочая, он был как бы суммой н 1 н 0 да вот, а? Теперь мы из н 1 еще вычитаем из аннуля, еще вы читаем и на 1. По сути, вот нужен какой то коэффициент это. Да ну вот что там получается, давайте давайте чуть больше коэффициентов. Чем чем я уже там записал, я вам 1 написал, но я вижу то, что этого на самом деле очень мало. Вот это отмямлил, это есть что, ну, 1 коэффициент он понятен, а 02 % лямбда.

54:20 + 1 на это, простите, какой желе на лямбду степени, + 2 коэффициент какой будет? Вот, а 1 будет правильно, а 1 будет коэффициент, а 1, на Лямбду ты 1 вот. 3 Коэффициент будет снова вычтенный, снова будет, что там она. А 2 3 на это на явный стритный 2. Дальше снова не вычтили. Поскольку эту запись я закончить до конца не могу, дата просто 3 точки вот вот так выглядят. Коэффициенты того самого многочлена с индексом, это который мы рассматриваем. Вот но что мы здесь сделали, это следует представить таким вот образом. Представьте, что наш многочлен, да это на самом деле 2 многочлена. Как бы, грубо говоря, вектор, вектор из 2 многочленов, но это грубо, конечно, сказано. Вот и теперь мы берем 1 из них и вычитаем из другого, с каким то коэффициентом, вот и давайте.

55:36 И давайте посмотрим, что получается, получается, получается интересно. Получается, 2 утверждения над 1 мы сейчас побольше подумаем над 2? Нам так много думать не придется на самом деле. Там утверждений больше, но вот самое основное 1 из основных утверждений, это про корни, которые лежат. На мнимой оси совершенно шикарное свойство полученного многочлена. Вот Эн с индексом это заключается в том, что у него точно такие же корни на мнимой оси, какие были у исходного многочлена Энлянда, но Энн от Лямбда.

56:17 Точно такие же, и вот какой это не бери. Они будут такие же, они вообще не меняются, вот что с этой не делай. Как себе это следует представить, да вот представьте, что были какие то корни добыли, какие то корни в левой полуплоскости нам не масси. В правой полуплоскости вот, а потом мы взяли вот с помощью вот этого преобразования трансформировали таким вот образом многочлен. Да у него как то корни начали там двигаться куда, то поползли влево и вправо по плоскости, а на мнимая все остались такие же вот как. Так на самом деле это достаточно простое утверждение, если внимательно присмотреться к тому, что именно мы с мы с многочленом сделали.

57:07 Нет кратность, причем тут смотрите? Что у нас происходит многочлен, н нулевое состоит из одних степеней лямбда. А ногочанен 1 из других, и если мы подставим кого, то из них и Омегу. Вот у кого то из них будут получаться все действительно числа, а у кого то все мнимое. Вот теперь смотрите, что происходит вот н и омез. Будет получаться, что даже не знаю. Давайте вот рассмотрим какой нибудь кубический случай. А нулевое лямбда в Кубе + 1 лямбда квадрат, + а 2 лямбда + а 3 кажется вот этот кубический случай. Так ой м от лямбда здесь это от лямбда и подставим и омегу.

58:12 Что происходит, получается действительная часть, какая будет Так, а мне моя часть будет, что там и? + А Омега в Кубе + 2 Омега, да что то такое, вот смотрите, да здесь получается стоит м, 1 а здесь м 0. Если мы хотим, чтобы и Омега был корнем, то есть мы смотрим сейчас корни на мнимая сиде. Мы пока сейчас только смотрим просто на мне. Мои седующие или корни, да это будет корнями, если мы приравняем это 0. Так вот смотрите. Комплексное число равное, 0 оно когда равное. 0 Когда равна и действительна, и мнимая часть равны, 0 то есть и 1, и другой многочлен, и Омега должны быть равные 0.

59:11 Вот соответственно, вот здесь это и записано теперь. Когда мы делаем вот то замечательное преобразование, смотрим на многочлен, это то мы что сделали. Мы из 1 из этих многочленов вычли другой, но с каким то там с умножив, на что то, вот соответственно, какие корни были. Они такие остаются мнимые, какие мнимые корни были, они такие остаются, ну 2 то они просто остаются. Да, а вот у той линейной комбинат, с которой мы рассмотрели, они тоже остаются, потому что у 1 что у 2 и Омега корень.

59:51 То есть записав вот это же утверждение, вот это вот это же для н это получаем тоже Энноль и Эн 1, равный 0 от и Омега. То есть получается, мы вот делаем вот это. Вот замечательное преобразование над многочленом с индексом, это преобразовывать сюда многочлена. Вообще говоря, не меняем корни, которые находятся на действительно оси это. Фантастический круто, почему это фантастически круто? Потому что дело это преобразовано многочленом. У нас корни из левой полуплоскости в правую полуплоскости, из правой полуплоскости в левую полуплоскость не перетекает.

1:00:29 То есть если бы какой то корень перетекал из 1 полуплоскости в другую, он бы пересек к нему ось. Так вот, ну, то есть аргумент о непрерывности. Они этого не делают, значит, количество их сохраняется. За 1 исключением, то есть вот то, что я сказал. Вот у этого есть исключения, и это исключение для нас является 2 важным утверждением. Давайте к нему перейдем и так. Утверждение 1 это то, что корни на мне мои тени зависит от это. Да, здесь 2 утверждение, количество корней.

1:01:13 И в левой полуплоскости правой полуплоскости оно не меняется. Но это вот то, что я говорил до этого. До тех пор, пока мы это варьируем от 0 до, а 0 делен на. А 1 почему потому, что у нас старший коэффициент, а 02% и ты, а 1 на это? Как только мы упираемся в она зеленая, 1 у нас падает степень, у нас понижается степень на многочлене. Вот и тогда уже вот это соображение про непрерывность, про то что. Корни не пересекают мне мазь, да? Она становится несправедливым, потому что у нас просто происходит понижение степени. Давайте теперь разберемся, что именно происходит при понижении степени.

1:01:57 Как раз, собственно 2 утверждение, интересно, здесь нам названо утверждение 3, но, по сути, 2 и 3 это 1 утверждение. И то итак при это подходящем, оно деленное, а 1 1 из кореней хоть на бесконечность оказывается. То есть, вот мы берем это до равный 0. Сперва у нас многочлена, корни многочлена, какие были такие остались, а потом берем это и потихонечку меняем, меняем до корни как. То ползут меняются, кроме тех корней, которые на действительно оси, а потом, когда мы достигли, она деленная на 1 1 из корней пим куда то на бесконечность улетел, он улетел.

1:02:44 Вот. Понять, почему именно на бесконечность, каким то другим путем? Вот в вот смотрите, пусть у нас был. Многочлен там, а 0 на лямб в Кубе +. 1 Квадрат + 2 Лямбда + а 3. Так и оно и потихонечку берем из за 0. Мы просто меняем, на 0 что произойдет, у нас понизится степень и как бы так посмотреть. Почему, почему вот 1 из ляпов идет на бесконечность, но доказать? Что корень уходит на бесконечность, трудновато? Да вот, глядя сюда, вот лучше доказывать то, что корень уходит в 0 гораздо приятнее. Соответственно, берем другой магазин, рассматриваем какой.

1:03:46 Рассматриваем многочлен от единицы на лям, этот же многочлен, но от единиц на лямбда и тогда, а 0 уходящий в 0. Да, это свободный член, обнуляющийся, то есть единица на лямбда, в таком случае уходит. 1 Из корней у единиц на нем да уходит в 0 соответственно соответствующий корень из предыдущего магазина. Поэтому бесконечность можно даже асимптотику написать, то есть при а 0 стремящимся. К 0 да что мы получаем, мы получаем, что имеется на Лямбе, так?

1:04:23 Поскольку Лямбда уходит к 0. Какую можно синтетику для коэффициентов единицы на лямбда будет эквивалентен к чему то? 3 0 делить на 1 вот соответственно лямбда. Так до минуса 0 делить на 1 да, а Лямбда соответственный квалентин. Только эквивалентность неправильно, да стремится, стремится лучше. Здесь Ковалентность там стремится. Что мы получаем? Получается, что, взяв это равное, а 0 на а 1 мы. Сохраняем количество корней на мнимой оси в левой полуплоскости, в правой полуплоскости, кроме 1 корня, который уходит на бесконечность. Причем мы даже знаем, на какой бесконечности он уходит на ты или на +.

1:05:35 Потому что мы знаем отношения, а только 1 и все. То есть, если Аналька 1 вообще говорят положительно, то, ну хоть на ты бесконечность, ну потому что минуса 0 1. Минуса 1 минуса 1 на 0 а если отрицательные отношения, то и с правой плоскости уходят, то есть понятно, да мы вот этим преобразованием. Которые сейчас сделали и выбрав, это равное оно, деленное на 1 1 корень, из многочлена удалили. И мы даже знаем, из какой полуплоскости.

1:06:08 И понизили степень, теперь мы можем дальше. Это же все действие повторить уже над многочленом пониженной степени. И повторить, повторить, повторить, пока не останется? 1 Единственный коэффициент свободный член, у которого, который многочлен с отсутствующими. Вообще говоря, корнями, и таким образом мы пересчитаем все корни. Вот так вот поочередно и скажем, сколько было в левой полуплоскости, а сколько в правой.

1:06:40 Нетривиальный замес, да вообще говорят, в этом заключается доказательство схемы Раоса. Все вот разве что вот иллюстрация. Такая На пальцах. Сверху то, что было до исходный многочлен, да вот. Потом начали двигать потихонечку, увеличивать эту преобразование, сделали на дочение до корня. Как то подвинуться на мне, мои очки остались те же вправо, в полуплоскости влево, как то подвинулись, когда достигли это. Да там равная, чему там? А 0 деленное 1 по моему, да или 1 деленное сейчас, а 0 деленное. 1 Когда достигли этого, это тогда я 1 из корней ушел на бесконечность. А все остальные остались в той примерно в той части плоскости, в которой они были.

1:07:37 Ну и наоборот, да если это отрицательный, то удаляется корень, исправлю полуплоскость. Мы даже знаем, с какой асимметрикой вот. Теперь, если мы вернемся сейчас к исходному утверждению, а теперь посмотрите, что здесь написано в исходном утверждении. Мы взяли. Исходный многочлен вот этот, который из стейку. И СП из одних коэффициентов вычли другие коэффициенты. Вот этим это, который по 0 Зеленый Кубань получили Р. Мы и причем мы даже знаем знаки по ИКУ до отношения по ИКУ. Мы знаем, в какую из левой полуплоскости или из правой плотности вот.

1:08:30 Дальше повторим это и повторим еще раз и еще раз. И, пересчитав таким образом корешки, получаем, сколько корней было в Лену пол плоскости, сколько вправо плоскости. Вот она, собственно, схема рапса. Ну, точнее, алгоритм рос хит со схемой соответствующий теорем, так вот.

1:08:56 Пример. Вот такой простой пример кубический. Схема раусы для него 1 удовольствие записали, а нулевое, а 2, 1, 2 и 1 на 3, 1 и 10. Вот 1 строчку поделили на 2 ну либо дорого делить, да просто вычли, вычли из 1 2 по сути, да получили, ты 8 нормально. Да потом из 2 вычли, 3 да ну насколько там 2 нужно?

1:09:35 На сколько 3 нужно умножить, чтобы вычистить старую? Ну, раздели, ну там да на ты, 1 если ну, чтобы вычесть, либо чтобы прибавить, просто на 1 который8, ну и. Остается десяточка, вот она, эта десяточка, вот 6 чисел. Всего записали число перемен знаков 2 по моему соответственно 2 корня в правой полуплоскости.

1:10:00 1 Корень в левой полуплоскости в качестве на домашнее задание на подумать. Да оставляю вопрос, почему я считаю, что из 3 корней 2 вправо полуплоскости понятно, почему 1 в левой плоскости почему нет на. Мне массе что бы произошло, если бы корни были на мне? Мы все подумайте над этим на досуге, сейчас над этим не надо думать. Давайте сейчас сосредоточимся над тем, что за шаги мы на самом деле сделали.

1:10:30 Вот исходный многочлен, так так вот вот это его это преобразование, скажем так, так? И теперь подбираем это такой да, чтобы понизить степень многочлена. Ну какой тут лямбда лямбда в коме? Это равные единицы, вот получили многочлен после 1 деления, так? Ну вот, он, кстати, записан, да этот многочлен 1 на лямбда квадрат, она 8 лямбда. + 10 То есть каждые 2 строчки соседние, это на самом деле 1 многочлен, да только мы. Поудаляли, поудаляли корни и 2 строчки подряд. Это 1 какой то многочлен, вот дальше выполняем то же самое надо. А ну да, кстати, это положительный, да значит, мы удалили.

1:11:20 Корень из левой полуплоскости. Вот теперь дальше продолжаем ту же операцию над получившимся многочленом. Из Четных коэффициентов вычитаем нечетный, сдвинутый на умноженное, на это и подбираем это таким, чтобы разделить. Соответственно, но это какой она 1 что8 да согласен, вы уже это называли. Получаем многочлен уже 1 степени, да и вот где вот тут ты 8 лямбда + 10. Ну и в конце. Остается просто. Здесь, видите, это отрицательный, и здесь это отрицательный. То есть здесь и здесь удалили по корню из правой полуплоскости?

1:12:16 Если будут ли мы кровные по идее, которые мы будем овулять 2 часа, должны овуляться? Потому что у меня все запряжено, и я не могла его потемнеть. Что должно обнуляться? Там в процессе работы схемы Рауса должно произойти кое что интересное. Вы запишите какой нибудь многочлен до с корнями на на оси и вы. Увидите мимо того, что получится, я вас уверяю. Так вот, схема Рауза дальше, но вы более привыкли к тому, что называется критерием РАО Сагуровица.

1:13:03 Вот чтобы к нему приблизиться, давайте к теорему, скажем так, теорема Гурвиц. Да вот снова тот же многочлен имеет также в вот от чего, то там корней в правой полуплоскости, но. Вот это чего, то вы уже помните, да это из матрицы Гурвиц. Вот а А точнее, это миноры, да вот эти дельты написаны. Это даже не минор, а главное миноры матрицы горницы. Вот причем вот зараза эту матрицу курицы! Мы записываем не с, а 0 записывается, а 1. Попробуй запомни то, что там, а 1.

1:13:48 Почему 1? Все очень просто, на самом деле ее следует записывать с. А 0 если мы хотим воспроизвести то, что мы только что делали тут? Просто на самом деле 1 строчка здесь она уже вычеркнута 1 строчка. Здесь была здесь, смотрите, здесь матрица Гурвица, она н на н так вот, а?

1:14:15 Коэффициентов у нас н + 1. Вот поэтому по хорошему на самом деле она должна была быть бы м + 1 на н. + 1 На н. + 1 Вот просто 1 строчку и 1 столбец из нее уже вычеркнули эту вот 1 строчку и 1. Столбец, как какие они должны быть, они на самом деле должны были быть, а 0, а 2, а 4, а 6 и так далее. Ну а здесь, соответственно, в столбце, а 0 нулей вот, но поскольку. Эта строчка, она во всех минорах тривиально вычеркивается. Рассматривая минор, прям по 1 столбцу, 1 строке раскрываем минор по 1 столбцу, 1 строки по 1 столбцу. Просто раскрывай по 1 столбцу минор вот то ее сюда, в матрице гуровица, эту строчку не записывает. Очень жаль, а было бы гораздо проще запомнить, на мой взгляд.

1:15:09 Поэтому начинать не с, а 0 а начинаются, а 1. Итак, Такова теорема, да, но критерий раосу горец, да это частный случай теоремы, да когда. Многочлен, да будет устойчив тогда и только тогда, когда все вот эти вот участвующие. Числа, скажем так, в ряде да они все положительные, а точнее получается, должны быть положительные, все эти главные нормы отрица и таков критерий получается. Я, честно скажу, не рассчитываю на то, что после схемы Рауса у вас осталась концентрация на то, чтобы перейти от нее к.

1:16:01 Критерию РАО Сагуровец, ну точнее, к рассмотрению вот этого рассмотрению главных миноров в матрице горец, поэтому это сделать связь. Между предыдущей теоремы, которая схема Раоса и между вот критерий нрава Сугорвице. И вообще говоря, вам оставляю самостоятельно много.

1:16:23 Для того чтобы вам это преодолеть, да вам потребуется кое какой некоторые, как то инсайт, что зовется. Да вот почему они связаны, и так мы с вами так более менее убедились. Да то, что каждый шаг, который происходит в. схеме раусы это деление 1 многочлена на другой, но мы делили строчки на. Вы же понимаете, что делить строчки, что многочлены, по сути, многочлены. Это строка, записанная таким специальным видом со специальными операциями.

1:16:57 Это деление многочленов то 0 на 1 разделили, то я на 1 на 0 ну и так далее. Вот и что мы делаем, вспомните, мы 1 многочлен делим на другой. Но, по сути, вычитаем, выполняем 1 шаг деления, вычитаем умноженное. На какой то коэффициент, чтобы обнулить старшую степень, а что остается, остается остаток отделения и этот остаток? Мы дальше используем, мы дальше на него делим, понятно? Да, то есть мы взяли, 2 многочлена.

1:17:30 1 Поделили на другой, получили остаток, дальше 2 поделили на остаток, получили еще остаток, дальше снова поделили тот остаток. На следующий поделили еще 1 ничто, вам это не напоминает? Да, это алгоритм на самом деле на самом то деле, чем мы с вами сейчас здесь занимались. То, что вот схема, Раос, это применение алгоритма Евклида к вот этим вот 2 составным частям, исходным многочлен. Вот и это, более того, этот алгоритм Евклида можно записать вот в такой вот матричной форме. Потому что, если вы вспомните, помните, был метод Гаусса, да вот. Которым, вот, например, можно иногда быстрым способом найти детерминант, чтобы не раскрывать множество этих, как то сум, которые там факториально плодятся.

1:18:29 Привести матрицу по методу Гаусса к Верхне треугольному виду и перемножить все полученные на диагонали элемента. Получается, получается, детерминатор, так вот если вы припомните, что там происходит при? Делении ой при приведении матрицы к верхнеугольным видам на самом деле выполняем все те же самые операции. Мы также вот из 1 многочлена из 1 строчки, вычитаем другую нужный коэффициент так, чтобы обнулилась.

1:19:02 Вот. И Совмещаю вот алгоритм Евклида для многочленов с. Методом Гаусса да для матриц мы получаем на самом деле то, что называется матрица Сильвестра. Это вот такая конструкция у математиков есть. Они ее очень любят, не любят кидаться всякими умными и страшными. Словами типа результат вот вот получаем матрицу Сильвестра. То, что называется, познакомьтесь с этим с этими объектами и попробуйте их собрать воедино так, чтобы перейти от алгоритма Раоса к критерию Раосу.

1:19:46 Вам это должно тем, кому нравится математика. Это, по крайней мере, доставит удовольствие точно вот. И в качестве упражнения, чтобы вы убедились, что вы поняли, что там происходит, чтобы вы сами убедились. Вот попробуйте найти остальные коэффициенты в матрице Гурвиц. То есть то, что написано сейчас? Вот здесь вот то, что написано Дельта 1 Дельта 2 на Дельта 1, 3 модель, т. 2. Это старшие коэффициенты этих промежуточных многочленов, которые получаются вот там по 0 ку 0 эр 0 с 0 и так далее.

1:20:30 Делим 1 минор, 1 главный минор на другой получаем. Старший коэффициент на предыдущий получаем старший коэффициент. Так вот, в этой же матрице можно найти и все остальные коэффициенты. Промежуточных многочленов, которые получаются не только старшие, остальные тоже. Подумайте, где они там спрятаны. Разумеется, тоже будет отношение 2 Миноров, но вот вопрос каких. Да не просто я знаю. Ну, пример тот же, да тот же многочлен, который мы знаем, да уже что он устойчив. Вот смотрите, написали матрицу гуру, вроде правильно написали, да?

1:21:17 К сожалению, не с, а 0 начались, а 1 а 3 а 0, а 2 0 1 а 3. Вроде матрица хорошо. Вот главное, Минор. 1 1 Да, 1 2 1 2 Минор, да по 2, 1 строчками столбца, 2%, так ты 80! Потому что 3 просто можно раскрыть по 3 столбусу, да 10 умножить, на 2, на 2, получается, мать 80. Так хорошо, ну и теперь записывая. Формулу, которая, ну записывая число перемен, знаков, которые до Урала Сагуровица, то есть 1. 1 Число это, а 0 так 2 число, это дельта, 1, 3 число дельта, 2 делен модель, то 1 и 4. Да, Дельта, 3 деленное дельта, 2 и видите прям в точности получаются те самые старшие коэффициенты у промежуточных многочленов.

1:22:25 Классно не просто так, они действительно там получаются так, ну и теперь, да? Критерий Вильянар дальнейшее упрощение. Рау Сугор Вице, да уже критерий Раусу горуется при положительности коэффициентов многочлен. То есть, если выполним необходимые условия устойчивости, мы можем? Не все миноры главное проверять на положительность для того, чтобы узнать, устойчив ли многочлен. А можем проверить только либо чуть не либо ни чуть не.

1:23:05 Какие нам больше нравятся? Но на самом деле можете попытаться здесь халявить. То есть как бы, если там, например, есть вариант рассматривать дельта 6 или дельта 5, да и рассматривать тогда Дельта 5 на самом? деле это много сахалин не получится, тоже дельта 6 будет. Тот же Дельта 5 умноженное, просто на еще 1 член свободный, так что любые любой из них выбирайте вы ошибкой ошибетесь.

1:23:33 Ну и рекомендую помнить про кубический случай очень важный частный случай. Да, это вот кубический многочлен, вот нам дали кубический многочлен и спрашивают, устойчив ли он. Это достаточно просто проверьте устойчивость. Ну, во 1 сперва коэффициент проверяем, положительно ли бросили взгляд положительно. Хорошо, вот, а во 2 если раскрыть дальше паровоз вырвется, то получается вот такой вот критерий. Пара внутренних коэффициентов произведение пары внутренних коэффициентов должно быть больше произведений пары внешних.

1:24:11 Ну, то есть 1 2 больше, чем 0 на 3 запомнить, что из них должно быть больше. Можете попытаться, так как вот в квадратном многочлене за, скажем. Так демпирование отвечает средний коэффициент, до которые перед ИКС точкой до стоит или перед Лямбда. Так вот, соответственно, что то похожее в. Кубическом случае только здесь, за бинфирами, уже отвечает 2 внутренних коэффициента, и система должна хорошо, чтобы система достаточно демпфировалась. Для того чтобы быть устойчивой произведение 2 этих коэффициентов должно больше произведения 2 внешнюю. Вот ну на сегодня это все вот.

1:25:03 Если кому интересно, как выглядели эти замечательные люди, то примерно вот так, которые для нас разработали такую столь элегантную красивую теорию. Так я, как всегда. Ну ну что ты спасибо за внимание до встречи в следующий раз?

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.