Лекция 5 | Теория автоматического управления

0:01 Вот, а сегодня мы продолжим с вами заниматься устойчивость. Мы после алгоритма Раоса до с вами посмотрели, что такое критерий до раусы Гурвица. Вспомнили упрощение этого критерия, да то, что называется критерием льена Рашипара. Да, они вроде французы, поэтому правильно ударение в этих в. В фамилиях ставить на последний слог да простят меня летчики, так? Так, а сегодня мы с вами посмотрим про другие методы анализа устойчивости, с которыми вы наверняка не знакомы, вот мы.

0:46 И познакомимся. Так начнем мы сегодня с принципа аргумента, то есть сегодня у нас то, что называется частотный критерий устойчивости. Вот и начинаем мы с принципа аргумента. Вообще говоря, вы изучаете это? И в КП, поэтому у вас есть там нормальный человеческий взрослый принцип аргумента. Вот сегодня мы будем пользоваться его младшим братом, вот и немного не у него не так хорошо с развитием.

1:15 Он попроще, чем тот принцип аргумента, который у вас в ТФКП. То, что он у вас наверняка был, да то есть там. Не было не было еще. Что идет? Ну и того тоже. Хорошо, только месяц, ну ладно, сейчас, может, может быть, кто нибудь уже заглянул вперед, увидел. Хорошо, скажем так, вот и после принципа аргумента мы с вами посмотрим. Применение этого принципа аргумента к 2 различным. Интересным случаем, вот 1 это будет касаться работ устойчивости, а 2 будет касаться критерий устойчивости наайквиста, который в дальнейшем для нас будет основой для перехода к такому понятию. Как вот, ну вот давайте начнем.

2:07 Принцип аргумента, что мы делаем, мы берем многочлен. Вот м от лямбда равно, а нулевой лямбдавынта, 1 лям де Венеспер и так далее. Такое же многочлен, как было до этого с теми же странами. Записанными коэффициентами наоборот, да то есть оно любое, почему то у Лямбда Энтова, а энте у свободного члена. Вот и теперь мы берем, подставляем в многочлен лямбду равный и омего.

2:38 Вот смотрим, что получается, получается какое комплектное число. Вот м от и Омега вместо лямбда поставили и Омегу это комплексное число и теперь. Мы рассматриваем, что это будет за кривая, если мы посмотрим движение этого комплексного числа при изменении Омеги от 0 до бесконечности. Но это не совсем афчх, потому что Афчх для передачных функций здесь мы многочлен. Берем, то есть мы перейдем с вами еще к передачным функциям сегодня. Но пока это просто многочлен, то есть, а ФЧХ у меня не поднимается язык назвать это в чеха. То есть, ну что то похожее можете считать, не дав и чеха, вот?

3:22 Вот если еще да теперь разделить на знаменатель будет овчиха. Но мы сейчас не так нас, у нас вот это знаменатель. Мы сейчас рассматриваем устойчивость этого многочлена, вот. И что называется, что называется Годограф Михайлова? Это будет вот движение значения этого многочлена при изменении Омеги от 0 до + бесконечности получается, что то вот.

3:46 Как это, позвольте сказать, Кривулька, получается, начинается, скорее всего, на положительной части действительной России. Кстати, почему она начинается на положительную часть действительно оси? Да ну здесь начинается на положить часть. Ну, может, не на положительно начинаться, да он просто начинается на действительной оси, потому что вот Амт да при Омега равный 0. А мы сейчас пока не говорим то, что многочлен устойчив, это просто многочлен. Да, да, ну естественно, да есть, начинается вот так, подставлены, начинается на.

4:26 Отрицательной части действительной оси, да то тогда еще, а 0 при этом принят больше. 0 То тогда явно не устойчиво на горячем, да вот вот такой фотограф Михаил. Вот получается какая то кривая, и теперь мы делаем страшное. Нам не достаточно просто нарисовать эту кривую. Мы берем и смотрим изменение аргумента этой кривой.

4:52 Аргумент. Ну не совсем арктангенс Арктангенс, он же от 0 там до скольких. От она пиполам да пиполам да мы принимаем вот то здесь. Изменение аргумента может быть больше, чем Пипполан и меньше, чем она пиполам, сколько. Угодно, причем меньше и сколько угодно больше. Изменение аргумента это, что это вот мы взяли, встали в 0 да и смотрим, какой угол в сумме.

5:23 Крутит кривая, на которую мы смотрим вот. Соответственно, само значение просто аргумент. Мы же говорим, там оно, например, фиксируем там от 0 до 2 пить, да потому что угол на, например, на плоскости. Да вот, а изменение аргумента может быть вообще большим. То есть она не обязательно, она не ограничена от 0 до 2 пена. Может быть, в общем, на потому что сколько там, например, там 2 Цветков сделали, да будет 2 20 умножить на 2 Пида. Вот 40 пи быть так вот, в общем.

5:58 Если записать чуть более строго, хотя тоже не совсем строго. Да, мы рассматриваем изменение аргумента и. Какое то вот комплекс назначен функция от Омеги, так вот. И это изменение аргумента можно записать через. Через, ну скажем, комплексный логарифм, вот комплексный логарифм у вас был. Взрослый, да ладно, вот в общем комплексный логарифм от функция. Вы помните, да у комплексного логарифма есть? Как то 2 компоненты, 1 которая за изменение модуля, а другая за изменение угла, вот нас, соответственно, интересует изменение угла. Это поэтому здесь написано мнимая часть.

6:48 Но если по замкнутой траектории, то не обязательно брать мнимаю часть. Да потому, что в начале в конце модуля определен, как то изменения модуля определен будет 1. Да, соответственно, действительно часть не вот вот вопрос на засыпку. Вот если нам нарисовали такой гадограф, скажем, да, каковы изменения аргумента, ну смотрите, да?

7:16 Хорошо такой. Правильно, знак да ика, 3 ты пополам согласен. Да усложняем. Да, и * 4 Пи, согласен, согласен, да я также написал, смотрите. Хорошо, хорошо и еще 1. + 2 Пи, да да, да, хорошо, то есть что такое изменение аргумента у Кривой. Я считаю, что вы понимаете, это хорошо, это очень хорошо, вот и теперь, да? К чему нам это изменение аргумента? Да я там чуть начал про принцип аргумента говорить, и давайте сформулируем этот принцип аргумента теорема. Что, если мы возьмем многочлен, рассмотрим его годограф. Михайлова поставили туда и Омегу, и изменили Омегу от 0 до + бесконечность, посмотрели на. Этот годограф, то изменение аргумента этого годографа она будет как Пит Палам Эльминус Эр, где Эль число корнеев в левой полуплоскости, а в правой.

8:37 Так вот красиво и приятно, если вы откроете взрослый принцип аргумента, то там будет интеграл по замкнутому контуру и количество нулей и полюсов. Мироморфной функции внутри компа, вот но на самом деле вот то, что здесь написано. Это частный случай того взрослого принципа аргумент, который у вас в КП.

8:59 Так что чтобы много нейронов в голове не тратить на разные вещи. Да вы, когда будете изучать, откройте сюда, посмотрите, сделайте связь, и вам будет удобнее и легче запомнить. Да, да, да, здесь мы говорим про всю комплексную плоскость, а там просто про какую, то у нас да вот. Вот ну по другому, можно сказать, да что году граф Михайлова совершает вот столько вот оборота или ты, эр, деленное на 4 до, похоже, деленное 4 полный оборот же 2 пи. Да, разделение 2 Пида получили или ты, Эр, деленное 4.

9:39 Соответственно, следствие из принципа аргумента то, что называется критерий устойчивости Михайлова в частном случае вот этого детского принципа аргумента. Когда слева, мы рассматриваем Эль Корней. Да ой слева эн корней справа, 0 то есть все корни находятся в левой полуплоскости. Собственно, устойчивость получается, что тогда изменения аргумента должно быть пьян пополам в году графа Михаила.

10:06 Это, собственно, вот частотный критерий до, который для нас является основой остальных частотных критериев. Вот. И важное замечание, важное замечание, заключается в том, что в случае устойчивого многочлена. Изменение аргумент, к тому же еще и монотонно, то есть она не уменьшается нигде. Да строго на на том строго на том. Вот, ну давайте попробуем это доказать. Доказательство на самом деле достаточно простое, вот. Рассмотрим такой вот частный случай.

10:54 Когда многочлен, но это просто линейный член Лямбда иямбда нулевой. Просто сейчас давайте сперва разберемся с 1 корнем. Да вот потом перейдем к н корням или или р корням, вот рассмотрим 1 корень. И посмотрим, какого будет изменение аргумента для этого 1 корня. Причем рассмотрим не как в критерий Михайлова и как в принципе аргумент от 0 до + бесконечности рассмотрим от ты бесконечность до + бесконечности Омегу. Ну, то есть по всей действительной оси будем омегу гонять.

11:31 Не это доказательство теоремы, которая называется у нас принцип аргумента. Тут скобочка следовало подписать принцип аргумента. Вот его и доказываем, чтобы доказать. Да что изменение аргумента это Эль ты, Эр, да на Пипполам, так мы берем сперва рассмотрим. Количество корней равное 1. Но на самом деле будет достаточно простая и понятная вещь. Вот, например, так смотреть положим, например, вот этот корень единственный в левую полуплоскость. И Омега ты лямбда нулевое, так? Ну вот где то там левая полуплоскость, и теперь смотрите омегу сперва в Свесконечность вниз, туда убрали. Какое получается значение аргумента?

12:29 Не успе пала, тоже строго вниз смотрит, да и и Омега.? Лямб нулевое строго вниз стоит вектор, смотри. Потихонечку, когда мы омегу будем увеличивать, увеличивать и на + бесконечности отведем это Омега, этот вектор будет поворачиваться. Поворачиваться и повернется строго вертикально вверх, будет смотреть. Вот причем он повернется, когда он через ночь же повернется да непрерывно. Вот да непрерывно хорошо получается, что изменение аргумента сколько там будет.

13:04 Я согласен с вами, это очень хорошо, если также будет назначать, будет замечательно вот. Но это когда корень в левой полуплоскости, да как вы догадываетесь, правой полуплоскости должно получиться наоборот и с корень в правую полуплоскости. Оно также получается в начале и в конце в начале, когда Омега. В СНЕ Бесконечности Вектор смотрит строго вниз. Ну, комплексное число смотрим строго вниз, в + бесконечность также строго вверх, но переходит вот и снизу вверх. Она не через право, да вот не через 0, а через пи, да вот.

13:40 Да, соответственно, изменение аргумента будет правильно. Ждет пить, видите, как хорошо приятно и красиво. В случае, когда мы рассматриваем 1 корень вопрос, когда у нас эн корней, что меняется. Уточнять, что нам делать, когда Инкарни хорошо такой вопрос, то. То есть мы рассмотрели 1? У нас получается, у нас есть многочлены, мы разбили на рассказано на множители, да, конечно. Да, да, да, изменения аргументов у произведения будет все правильно, и так мы получили изменения аргумента для случая 1 степени до пили. ты пи в зависимости от того, в какой полуплоскости лежит корень, вот теперь. До раскладываем многочлен на произведение соответствующих линейных двучленов, а дальше мы же с логарифмом имеем дело. По сути, поэтому изменение аргументов произведения будет суммой изменения аргумента.

14:54 Прекрасно, совершенно прекрасно. Отсюда получаем прям пи на число корней слева, ты число корней справа. Потому что от левого от каждого левого корня + пи от каждого правого корня * пи. Красота. Да правильно говорите, где двойка. Я ошибся. Да правильно говорите вот. Да, соответственно, доп вопрос, почему получается так, что изменение аргумента от 0 до + бесконечности будет 1 труда2 изменения аргумента от ты бесконечно до + бесконечно. Но это тривиальный вопрос для вас, вы главное громко, вслух не кричите, поняли и хорошо.

15:54 Не по картинкам нельзя понять, я протестую. Вот лямб нулевое лежит здесь, а изменение аргумента от 0 до + бесконечно будет ни разу не пик пала. Да, это она в ответе будет. Надо смотреть уже итоговый, не надо смотреть эти картинки, вот. Вот, но либо смотреть эти картинки, но сразу сопряженные парни, сопряженные пары корней. Потому что от того будет не совсем пипало, она и от. Того не совсем пипало, она в сумме будет петь от 2. Но это неинтересно, интереснее, сразу прям вот это показать, это на самом деле 1 действие.

16:33 Ну, пример, да? Возьмем такой пример, но вы уже знаете. Да, этот многочлен, что устойчив, неустойчив. Необходимое да выполнять положительные, да, а дополнение к необходимому, чтобы кубический проверить какое. Так что так? Да и получается, а устойчивый, устойчивый. Ну кто, что 2 на 1 больше, чем 1 на 1 произведение 2 внутренних больше в произведениях внешних? Это устойчиво, но это хорошо, когда мы с. Вами знаем правильный критерий, давайте посмотрим, как тут применять принцип аргумента в таком случае и критерий устойчивости Михайлова. Как там как с помощью этого проверить?

17:22 Устойчивость этого многочлена. Готова к Михайлову, подставляем и Омегу также, как вот только что смотрели, подставили и Олегу получили мнимую действительную часть, + мнимую часть каждая из них зависит. От Омеги вот теперь нужно взять и построить вот эту вот кривульку при изменении Омеги от 0 до + бесконечность. Вот а что мы делаем, когда мы хотим построить кривую?

17:50 Это самое главное, что как то следовало запомнить из. Может быть, 1 до семестра матана, да вот, но это как брать производные. Да там вот это все пределы, все, а вот с кривыми. Что там что нужно сделать, чтобы хоть как то приблизиться к построению кривой? Ну, параметризована хорошо, мы же вы возьмете вот так. Вот вот, вот у вас вот это написано, вы такой возьмете ручку, да и так она же поведет себя вот так. Да не ну ка не надо, не надо, сложно примерно, к тому же вы видите. Там он будет круги наматывать, там много значений получается сложно, очень замен переменных.

18:43 Для начала советую начинать с таблички особых значений, между которыми кривая будет уже вести себя не нам. Не столь важно, как то есть, а какие нас интересует. Вообще говоря, значение нас нас интересует даже не столь производная, нас интересует на самом. деле, где вот эти компоненты обнуляются, мы хотим считать аргумент. Да, а аргумент будет принимать четкие значения в тех точках, где обнуляется либо у, либо вы то, то есть нам нули. Вот этих вот у его и надо знать, где они будут, вот остальное мы дорисуем.

19:18 Да у нас все хорошо и прекрасно соответственно. Вот эти нули какие то, какие получаются точек Омега, равно чему. А ну и, конечно же, начало и конец интервал, да? Ну давайте начнем так, 0 0 точно нужен и. 3 1 На корень из 2 не берем, он не входит в наш + не входит в интервал Омег, который мы рассматриваем. Мы сейчас рассматривать от 0 до + бесконечность. 1 1 Так На самом деле еще и асимптотика на бесконечность. Вот такие 4 точки нас интересует, так?

20:13 Смотрите, я не поменял своего мнения. Оказывается, с тех пор как делается так хорошо, в 0 какое значение будет у годографа. 1 Согласен, единиц на корень из 2. Да что то такое, да только и да правильно говорить тоже. Мы специально же выбрали яиц на корень из уха, потому что там изумляются уды, чтобы было и что нибудь хорошо в единицы, ну самое халявное. Согласен, а в + бесконечности. Количество там будет точно не допускать. Да, да, но она бесконечность понятия не мог получаться по разному, то есть мать бесконечности. Они могут получаться с разными значениями аргумента. До разные симптомы, поэтому напишем как нибудь вот так. Ну, то есть эквивалентность эквалентно вот этому при стремлении омега к бесконечности.

21:31 Так ну осталось взять это и нарисовать, он у вас. 1 2 3 4 По сути, 3 точки есть и 1 синтетика. Да вот между ними взять и провести кривую, выглядеть будет это как то вот так. Вот это вот при оме грамм на 0 да пряме грамм на единиц, на корень из 2 пряме грамм на 1. Ну и дальше на бесконечность, вот соответственно изменения аргумента. У этого гадографа. 3 Пополам и по критерию Михайлова этот многочлен. Устойчив да устойчив, согласно устойчив, устойчив, но, разумеется, да. Когда вам дают многочлены, спрашивают, устойчив ли он строить фотограф Михайлова? Это такое, это своеобразный характер, надо иметь.

22:36 Соответственно. Когда вам дают многочлен и спрашивает, устойчив ли он, конечно же, воспользуйтесь там критерием Рауса Гурвица. Да вот или просто вбейте численно почитайте, какие у него корни, в чем проблема? Но принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова для нас важны по другому. Они как инструмент теоретически важны и. И 1 к чему мы это применим? Это прекрасный теоретический инструмент будет называться такими страшными словами. Рабастная устойчивость многочленов, вот и в связи с этим у нас будет теорема Харитона.

23:20 Вообще, что такое рабастная устойчивость? Это мы дальше расширяем понятие устойчивости, но сейчас рассматривали с вами, да это запишите заголовок. Заголовок да про басную устойчивость негатива. Мы расширяем своим понятием устойчивости, до этого мы рассматривали устойчивость 1 многочлена, а сейчас переходим к устойчивости множества многочленов вот нам. Недостаточно многочлен был, вот представьте себе, что мы изучаем какой то объект. Вот, например, какие нибудь исполнительные устройства привод есть, который управляет там.

23:56 Какие нибудь поверхностями на самолете? Соответственно, эти привода простить друг от друга отличаются, ну то есть. Как то 1 производителя с 1 завода, выпущенные привода, разумеется, они будут отличаться то, что есть определенная вариативность, и она даже указано в такой. Вещи, как техническое задание, какова должна быть эта вариативность характеристик? Получается, у нас есть вообще не 1 привод, который мы должны анализировать. Есть множество, это множество, вообще говоря, континуально, потому что нам говорят. Ну там типа его запаздывания может быть от скольких до скольких там какой? Нибудь по фазе там как то при такой, то частоте. Вот и нам не говорят, что может быть точно такие вот характеристики. Это какой то диапазон значений, вот и в.

24:47 В связи с такими вещами, ну то с этим ничего не поделаешь в. Связи с такими вещами имеет смысл и есть целый раздел теории управления, которые занимаются понятиями Рабастного управления. Вот мы с вами коснемся карабасной устойчивости. Немного немножко чуть чуть издалека палочкой, вот. И о чем это вот у нас есть многочлен? Кстати, здесь уже многочлен записан, когда как многочлен нормального человека. А 0 на лямбда в нулевой 1 на лямбда в 1 и а энты на лямбда Вент, то. Есть индекс Уа и степени лямбда, они теперь соответствуют друг другу, но они и до этого соответствовали друг другу, но соответственно такой страны.

25:36 Теперь смотрите, у нас коэффициенты зависят, от какого то параметра куб, то есть коэффициенты у нас меняются и многочлен на многочлен. У нас тоже с видите индексом кур, то есть мы рассматриваем не 1 многочлен, все рассмотрим. Множество многочленов, которых меняется как то коэффициент, и это множество, по которым меняются коэффициенты, оно параметризованных. То есть вот есть параметры ку, да есть какой то вот множество большой, где параметр может меняться.

26:07 И Мы говорим, что многочлен рабасно устойчив, вот в множестве куб большое. Да, если, собственно, устойчивы, все все многочлены из за этого множества. Тут ничего такого особенного нет. Вообще, кстати, слово робассность, да это от английского робост грубый. У вас пара английского вроде много, вы должны были натыкаться на эти слова. Вот и вот сейчас мы с вами покажем такую вещь. Шикарно то, что называется принцип исключения 0 смотреть. Мы утверждаем принцип, что утверждает, что многочлен, точнее, множество многочленов будет устойчиво.

26:58 Тогда и только тогда, когда никакой из многочленов не попадает на границу устойчивости. Вот, но при этом здесь есть еще дополнительные условия, которые заключаются, в чем в том, что в этом множество многочленов. Мы гарантированно знаем, что есть 1 точно многочлен. Устойчивый, то есть мы взяли какое то множество много членов, причем, как вы видите, вот ку связано. То есть из каждого много членов каждый мы можем непрерывно меняя? Коэффициенты перейти по этому множеству. Вот ну степень многочленов не меняется, и важно то, что среди этого множества многочленов есть 1 многочлен устойчивый, вот он для. Нас будет этот устойчивый многочлен, как гвоздь, которым мы прибили все это множество к устойчивой области, оно там в этой устойчивой области множество и осталось вот 3.

27:48 Так вот, принцип подключения 0 гласит о следующем, что. Непросто. В том случае, если какой, то из многочленов попал на границу устойчивости, да? Не будет все множество устойчиво, то есть необходимость этого условия. Она как бы очевидно, а будет еще условие то, что это достаточно. То есть вот это условие достаточно в том случае, если у нас? В том случае, если у нас. Ни 1 из многочленов не попадает на границу устойчивости, то, значит, все многочлены устойчивы.

28:34 То есть и вы должны понять, что фишка в этом фишка здесь, в связанности. Это множество многочленов и в том, что среди них есть устойчиво. Вот вот, давайте попробуем это как то понять, но. Необходимость до условия того, что среди множества многочленов, чтобы мы назвали множество многочленов устойчивым, среди них не должно быть неустойчивых. Вроде понятно, давайте вот теперь достаточность. Рассмотрим такую вещь, у нас был фотограф Михайла, мы брали 1 многочлен, в него подставляли и Омегу и смотрели, какая получается кривая вот. Получившегося значения многочлен, да, а теперь мы берем не 1 многочлен, а множество. То есть у нас теперь годограф Михайлова это не просто? Кривая, а это такая движущаяся масса многочленов. Какое то пятно вот такое пятно многочленов, да и вот оно как то мы меняем омегу вот это. Вот пятно многочленов, как то меняется, вот и в том случае, если это пятно не задевает, 0 то вот и среди этого пятна есть 1 устойчивый.

29:49 В том случае все это пятно устойчиво, все многочлены там. То есть если как то вот геометрически все предстоящее происходит, когда мы омегу меня, но принципе дома. Уже становится очевидно, что этот принцип он вообще говоря работает, но, но да, здесь есть вот при Омега, равная Омега, 3 есть пересечение. С 0 потому, что нарисован, да и это там, где как раз мы можем заключить. Да то, что уже этот многочлен не будет раба с настойчивым.

30:23 Ну вот, давайте докажем достаточность. То есть если мы не задели, 0 да то все многочлены, в этом тут не устойчивы. Как это получается? Давайте доказательство от противного. Сперва скажем несколько утверждений, да, а потом мы видим то, что они противоречат друг другу. То есть, а какие утверждения, но 1 то, что выполняется? Условия да то, что Никакой из многочленов. Не попадает на границе устойчивость, так 2 то, что как было по условию, есть устойчивый многочлен среди всех многочленов. Да вот и 3 условие то, что есть неустойчивый многочлен, да то есть.

31:24 То есть, если мы говорим, что этот принцип исключения 0 нарушился, да то это значит что. Условия выполнились, да, а вывод неправильно. Да, то есть не получился согласно, то есть не получилось работоспособность, то есть нашелся какой то неустойчивый многочлен в таком случае. Здесь достаточно легко прийти к противоречию, если посмотреть, как будут меняться корни. Многочлена при движении от 1 многочлена устойчива к неустойчивому. Помните, он говорил про аргумент о непрерывности? Вот здесь его же применяем снова вновь и вновь. Смотрите, вот у неустойчивого многочлена есть корень вправо, полуплоскости.

32:09 Здесь да здесь наоборот, что ли, нарисовано здесь, здесь, наоборот, нарезали здесь ку, 1 должен быть. Так вот здесь да здесь лямбдатку 1 здесь корень. Неустойчивого многочлена, а здесь корень устойчивый, соответственно, где то должен произойти переход, поскольку множество ку вот этих многочленов. Да, мы сказали, что она связана, вот должна быть. Кривая, которая приходит из 1 множества другой. Вот мы рассматриваем, как движется корни при движении по этой кривой и оказывается, что где то до корень должен пересечь границу устойчивости.

32:48 Это чисто прям. Как то получается, что В пятно многочленов на гадографе Михайлова попадает, 0 но это такое это. Результат еще более теоретический, а вот более практический результат. Это уже следствие принципа исключения 0 применено к частному виду многочаев. Так давайте посмотрим, что у нас со временем сколько времени скажите. Вот давайте сделаем перерыв на 5 минут и через 5 минут перейдем к к интервальным многочленом и теорема, продолжим про рабастную устойчивость. Итак, мы посмотрели с вами до принцип исключения. 0 Что если у нас есть какой какое то множество многочленов, да то мы?

33:45 При определенных условиях можем утверждать в том случае, что если эти вот что, то в стиле частотные характеристики. Ну, когда подставили многочлен и Омеги, да во все эти многочлены и если ни 1 из многочленов не ни при каком. Омеге не стал равным, 0 то тогда все, все это множество многочленов, устойчиво все вместе. Вот вот, разумеется, для этого нам нужно, чтобы там, по крайней мере, 1 устойчивый многочлен. Множестве было, что множество было связано вот.

34:18 Давайте посмотрим теперь более прикладной. Результат достаточно интересно, который называется Теорема Харитона. И теорема Харитонова оперирует интервальными многочленами. То есть мы сейчас рассматриваем некоторое множество многочленов, где, а коэффициенты не просто параметризованы каким то ку. Да, а которые сами являются к параметрам, то есть каждый. Из коэффициентов, а нулевое аферы так далее арена меняется в определенных пределах, вот а нулевое меняется пределах от, а нулевой с чертой снизу до, а нулевой с чертой сверху. Вот такое обозначение принято, когда речь идет про интервальный. Многочлен, вот и все они меняются, все они причем меняются независимо. Вот причем мы получаем, что множество этих параметров. Вот этот ку большое, которые, да мы написали, да здесь это будет, а большую. Вот это вот такой, вот эн + 1 Мерный параллелепипед. Да ну, то есть, не пытайтесь себе, как представить. Да, это сейчас много пользы от этого не будет. Вот, но просто имейте в виду, что эти коэффициенты они независимо друг от друга меняются. Вот мы рассматриваем такое множество многочленов, вот.

35:37 Вы понимаете, да что многочленов там много в этом множестве? Вот да и мы не сможем просто взять их, все перечислить да проверить, что они устойчивы и сказать, да все это устойчиво. Нужны какие то более менее приличные способы проверки, и вот 1 такой способ есть. Давайте рассмотрим вот как там была картинка, когда вот рассматривали пятно многочленов. Да вместо годографа Михайлова до место движения 1 точечки, по какой то кривой двигалось круто, вот пятно такое вот. Менялось, давайте посмотрим, каково это пятно. В случае, когда мы рассматриваем такие интервальные, многочлены, берем коэффициенты, а 0, а 1, а 2 и так далее. Да умножаем их на соответствующую степень и Омега.

36:24 Вот и рассматриваем. Что получается, да что за годограф Михайлова получается смотреть здесь достаточно? Любопытно получается обратить внимание все четные коэффициенты с четными степенями. Да, они все ушли в действительную часть, все нечетные ушли в мнимую часть. И на самом деле, если мы рассмотрим, при каком то фиксированным Омега, то есть мы сейчас с вами фиксируем Омега. Какое то 1 значение рассматриваем, какое получается это вот пятно. То есть разные многочлены, что они замощают какую?

37:01 Какое будет вот это вот множество. И это множество получается удивительно простым, это прямоугольник. На самом деле, если подумать, пару минут над этим будет вообще очевидно. Когда те написали вот так, вот и сказали, это будет прямоугольника. Это вообще как то может, в какой то момент сбить с толку, посмотреть, в чем дело. У нас есть вот прям четко выписана действительная и мнимая часть. Вы давайте рассмотрим, например, правую границу этого прямоугольника. Это у нас что, получается, правой границы это получается? Мы варьируем мнимую часть, а действительно. Какую то максимальную ставим, а теперь представьте, действительное максимальное, то есть мы выбрали какие то значения, а 0, а 2, а 4 и так далее. Такие, чтобы вот это значение было максимальным, выбрали, все зафиксировали и теперь меняем. Чисто 1 а 3 опять и так далее, вот мы их поменяли, они варьируются в пределах. Вот какого то отрезка, соответственно, зафиксированы границы и варенье в пределах отрезка дает чисто вот такую, вот ровную границу, если вы еще внимательно. Посмотрите и вспомните то, что 1 на 2, 4 и 1 а 3 опять друг от друга независимы. Да то получается, что этот же отрезок будет и при всех остальных значениях действительно части тоже. То есть чет четко, прям прямоугольник такой, ну.

38:28 Вот. Такой вот прямоугольник, вот давайте теперь. Этот прямоугольник зафиксируем, то есть. Скажем, каковы его углы? Для нас это будет полезно. То есть мы можем точно сказать? Каково значение при фиксированном вот этим вот? Какой многочлен, точнее, попадает в правый нижний угол. Слушайте, согласен максимально действительно минимальное внимание, отлично вот так хорошо дальше. Ну вот, смотрите, не не не подождите максимально. Действительно, мы теперь напишем, каковы значение коэффициентов с вами дружно. Вот смотрите, давайте максимальная действительная часть. Каковы должны быть значения коэффициента максимально действительной части?

39:27 Согласен, а 0 верхняя, а 2 нижняя, а 2 нижняя, а 4 верхняя, это всем очевидно. То есть мы взяли Омегу какую то вот положительную? Да вот, но здесь это неважно, это будет важно. Здесь взяли какую то положительную омегу, да? Если мы хотим вот максимизировать, это число меняя, а 0, а 2 4 и так далее. Да, но мы просто берем, а 0 максимально, а 2 а сейчас мы хотим, Максим Рельеф. Да, а 0 максимальная, а 2 минимальная, а 4 максимальная и так далее.

39:59 Задача максимизации линейной формы. Все достаточно просто и понятно, вот то же самое с мнимой частью. Если мы хотим мнимой части, здесь мы мнимая часть должны минимизировать соответственно, а 1. Следует взять минимально, да, а 3 максимальным опять минимальным и так далее, меняя 1 другой, 1 другой, 1 другой. Вот так вот, если выписать многочлен, будет таким.

40:28 Вот смотрите, вот чтобы не запоминать, чтобы не запоминать. Где у нас там должен быть верхние, где Нижний Нижний Верхний Верхний? Смотреть, как это делается, прям вот так вот, запомните, что они с правого. Нижнего угла эти многочлены нумеруются, да и на отдельно 2 и 3 н 4 просто, когда записываете многочлен. Вот просто вот смотрите, надо записать. А 0 да, а 0 дает действительную часть действительная часть ООО ЭН 1 должна быть максимальной. Значит, а 0 верхняя вот у у мнимой части здесь? Должно быть минимальное значение, значит, 1 нижнее. Вот а дальше меняя 2 через 2 2 нижних 2 верхних 2 нижних 2 верхних 2 нижних 2 верхних.

41:16 То есть 1 2 коэффициента записали а остальные будут просто нижний нижний верхний верхний нижний нижний верхний верхний верх и так у всех будет много. Членов, но вот давайте теперь н 2 посмотрим, что получается максимально действительно часть максимальная мнимая часть. Да что получается, там должно быть? А 0, а 0 максимальная, да, а 1 тоже максимально иначе. Дальше минимальное, минимальное, максимальное максимальное минимальное, минимальное, даже максимально максимально. Да, а поскольку у 1, 2 нулевой у. 1 степени да там из лямбда не будет никакой знак вылезать дату, соответственно, искать какой из них взять максимально минимально. Достаточно, просто это чисто, вот действительно часть мнимая часть действительно.

42:09 Аналогично интрида, но интрига, что у нас там действительно часть уже минимальная, а мнимая часть максимальная. Да, но и значит, чего, а 0 будет у нас минимальным, а 1 максимальным. И точно так же минимальный максимальный максимальных 2 подряд минимальных 2 подряд максимальных 2 подряд. То есть запоминать, где тут стоит, видимо, где максимум не на это невозможно? Ну, хотя наверняка, конечно, идет, который может это запомнить лично, для меня это недостижимо.

42:47 Ну и последний 4 многочлен, это что там, а и то, и другое минимально. Да, значит, будет 2 нижних сперва, да поэтому, соответственно, потом 2 верхних да 2. Нижних 2 верхних, 2 нижних и 2 верхних, то есть мнемонически, это запомнить очень легко. На самом деле, хотя написано много, написано реально, много, да?

43:10 Да так вот давайте вспомним, чем мы занимаемся. Мы сейчас да изучили прямоугольник. А для чего это все это для теоремы Харитонова? На самом деле вот на самом деле, если мы хотим сказать, что у такое, в каком случае вот этот интервальный многочлен с меняющимися независимыми друг от друга коэффициентами. Будет устойчивый то вот ровно в том случае, когда устойчивы. Вот эти вот углы его, то есть не надо проверять. Весь многочлен все многочлены, какие там есть которых континуальное число, надо проверить только 4 из них классно.

43:48 Записали 4 магазина, то есть там много, может быть, разных до записали только 4 из них и хорошо, и нам этого достаточно. Иллюстративно это выглядит как то вот так вот. Ну и интуитивно, скажем так, мнемоническая картинка. Да что вот этот прямоугольник, который мы нарисовали в зависимости от Омеги, он меняется вот вот эти. 4 Многочлена берут его и протаскивают. Как вот по году графа Михайлова, так как, собственно, нам нужно, вот чтобы все многочлены стали устойчивы, вот но. Это не доказательство, это так мнемоническая картинка. Доказательство тоже достаточно простой, на самом деле смотрите. Предположим, что вот все эти вот. Все 4 многочлен, которые стоят по углам прямоугольника. Да, на годографе они все устойчивы, но при этом, но при этом какой то рисунка член не устойчиво.

44:49 Значит, должен нарушится принцип исключения 0. Значит, где то должен быть должен внутри появиться многочлен, который на границе устойчивости находится, находится. Соответственно. Попасть до границы устойчивости внутрь прямоугольника может дать через какую то из граней. Вот вот и соответственно это будет значить, что аргумент у кого то из многочленов меняется не монотонно, не увеличивается на тонну. Он где то уменьшается, значит, это многочлен будет неустойчивым. Вот смотрите, что я имею ввиду.

45:33 У нас внутрь прямоугольника, чтобы нарушился принцип исключения 0. Должен попасть этот 0 вот представим, что он внутрь прямоугольника попал через грань между н 1 и н 4 через нижнюю грань. Вот вот как бы здесь нарисован стрелочка. То, что прямоугольник вниз движется по мере увеличения омеги. Вот, а это значит, что вот он, 4 например, до аргумент увеличивается, с ним все нормально, а он 1 нет на 1 аргумент уменьшается. Вы знаете, что я на 1 не устойчив?

46:07 Потому что по критерию Михайлова аргумент должен не просто быть пен пополам, он еще и монотонно возрастает при этом. Вот вот и все доказательства теорем Харитоном прекрасно теорема, правда? Вместо того чтобы проверять вот это вот все множество многочленов, можно проверить просто углы. Вот вот такая история. Важный момент не обязательно, даже все эти многочлены проверять. Когда степень интервального многочлена меньше, 6 можно с халявить. Вот обычно, когда я произношу эти слова, студенты оживляются на лекции, потому что они слышат, похваляла.

47:01 Что можно где то халявить? Вот но здесь халява в чем заключается, да в том, что если степень многочлена 1 или 2. Да вот как квадратный трехшан, вспомните, да его критерием устойчивости. Да не надо там что то выписывать достаточно просто положительность, проверить коэффициентов здесь. То же самое мы проверили то, что нет отрицательных коэффициентов, и все, то есть не надо. Даже эти многочлены проверять, а в случае, если степень 3, например. Интервально мы дочли, то надо проверить только 1 угол 4 2 угла, 5 3 угла. Но при как если вам подсунули степень 6? Да то нужно уже все 4 угла проверять.

47:45 Хороший вопрос, если, например, посмотрите на. Степень 3 Там все будет вам достаточно очевидно. Вот он этот, 3 да? Вот здесь посмотрите, вот при степени 3 аргумент, который должен намотать и прямоугольник весь целиком и каждый многочлен индивидуально, включая на 1, да? Это аргумент Трипи палам, то есть они должны уйти. Вот это как на 3 четвери, они должны уйти в 3 четверть вот туда, вниз, тут точнее вот. Сюда, вниз, да и не вернут. Соответственно, многочлен 1 устанавливают то, что это границы, но в данном случае и нижнее правое, да то, что.

48:53 Он как то удостоверяет нас в том, что этот прямоугольник в принципе 0 не заденет. То есть? Он ушел вниз, туда, да вот геометрически. Посмотрите на эту картину, что происходит соответственно. Если мы 2 угла возьмем, да то он уже 4 пройдет и не заденет этот 0 вот. Как то примерно вот так эта иллюстрация выглядит. Вот такой вот замечательный результат называется Теорема Харитонова. Давайте теперь перейдем к другому результату, да то, что. Называется критерием устойчивости Найковска.

49:45 Здесь мы уже будем вести речь об устойчивости, не просто многочлена, а устойчивость системы. Вот. Взяли такую систему чисто замыкание звена обратной связью отрицательной, отрицательной обратной связи. Вот и рассматриваем при таких условиях это звено, которое мы замыкаем. Да то, что передачная функция строго собственная, вот. И Интересуемся. А при каких условиях замкнутая система будет устойчива? Вот здесь я еще обозначу то, что у нас вот это и от н. Да, это вот математики иногда так обозначает. Это инерция многочлена, это количество корней в левой плоскости, нам не массив правую плоскость, вот это распределение. Распределение пускает тройка 3 числа, сколько в левой полуплоскости на мнимой оси в правой полуплоскости. Вот эль в левый, да ц тип критический р в правый. Вот вот это нас спрашивают, да при каких условиях. Мы можем сказать, что замкнутая система будет устойчива. Вот на этот счет есть такая замечательная вещь, как критерий устойчивости. Вот смотрите, что мы рассматриваем замкнутая система устойчива 1 шаг, это значит. Что устойчивым многочленом должен быть до знаменатель от замкнутой системы до знаменательной замкнутой системы, что будет? Да, но замкнутая система это, что у нас там дубль в отделить на единицу + дубль в так?

51:46 Да, соответственно, когда. Мы рассматриваем. Рациональную передачную функцию, да что получается, а мы рассматриваем сейчас с вами рационально передаточные функции, получается м + м. Соответственно, для устойчивости замкнутой системы нам нужно проверить устойчивость, многочлен которой сумма НМ. Так вот хорошо применяем к сумме. К этому многочлену, который суммы до к знаменателю замкнуто передачной функции критерий Михайлова. Исходная система устойчива тогда и только тогда, когда вот этот годограф накручивает аргумент пн пополам.

52:32 Вот при этом смотрите, мы вот это произведение можем представить, как мы можем из него вытащить. М, то есть за скобки здесь вытаскиваем знаменатель, да и получается, что получается. Единица, + передаточная функция м делить на н да и и еще умножить на знаменатель. Вот как изменение аргумента произведения, сумма аргументов, сумма изменения аргументов, соответствующих множителей в произведении, то есть получается, что.

53:11 Просто вот изменение этого аргумента оно прям равно изменение этого аргумента сумме изменения этих аргументов, вот и. Если мы знаем, каково распределение корней исходной системы, точнее, простите, корень полюсов, кого распределение полюсов исходной системы. Сколько в левой полуплоскости, сколько в правой, сколько нам не масси? Вот нам вот это известно, да то, что вы назвали С. Вами нефти то тогда мы можем написать, каково изменение аргумента и Омегу да прям по принципу аргумента. Вот это что то Эльминусар пополам да да пить пина Эльминуса пополам, вот и используя дальше. То, что всего у нас корней н, а это есть эль + эр + ц вот.

53:59 Получаем, что общее изменение аргумента. Вот вот такой вот штуки, который имеется + дубливает и Омега, должно быть, как пи эр + ц пополам. Мы сейчас эквивалентными преобразованиями перешли к тому, что критерием устойчивости для замкнутой системы будет изменение аргумента от единицы + частотный отклик этой системы. Да наконец таки дошли до частотного отклика, да вот. Равный, как пи умноженное на р + ц пополам, где РЦ, это количество корней из количество полюсов исходной системы в правой полуплоскости и на мнимой оси соответственно, да?

54:44 Это многочлен, он +, он должен быть устойчив, потому что вот перед замкнутая система, вот она это м делить на м + м. Да, поэтому этот многочлен это. Прям он по определению да по сути, но не по сути. Да, ну хотя да по определению, что для устойчивой системы должен быть устойчивый знаменатель.

55:06 Все, что угодно, без разницы, что с числительным, когда мы говорим про передачные функции, нам устойчивость определяет знаменатель вот. Вот вот смотрите, что получается, теперь мы рисуем годограф уже. Тот, который частотный отклик дубль в и Омега, да и смотрим изменения его аргумента. Какое оно будет, если оно соответствует, равно как пи на р +? Экпалан, где РЦ это про систему, речь про количество полюсов разомкнутой системы в правую полуплоскость и на Мнемосе, то тогда замкнутая система. Будет устойчива, вот смотрите здесь важный момент, что изменение аргумента единица + частотный отклик, да не просто частотный отклик, а единицы. + Частотный смотрели изменения аргумента относительно, 0 то здесь, на самом деле, надо смотреть изменение аргумента относительно ты единиц.

56:10 Вот сейчас посмотрим, так частный случай, так? Ну, это, собственно, сформулированный критерий Найквеста четко. Мы сейчас получили критерий Найк, что система замкнутая устойчиво, тогда и. Только тогда, когда изменение аргумента частотного отклика разомкнутой системы вокруг ты единицы равно пи на р + эппалам, где РЦ, как и повторюсь, 3 или 4 раз до количество корней.

56:40 Количество полюсов сходной системы в правой полуплоскости нам не массе. Вот следствие это заключается в том, а вдруг частный случай, когда исходная система разомкнута уже была. Устойчивая, то есть взяли устойчивую систему, замкнули обратной связью, да и хотим узнать. А не стала ли замкнутая система неустойчива, значит, обратной связи не раскачалась ли система?

57:07 Тогда изменение аргумент должно быть, 0 потому что исходная система была устойчива. Да у нее РЦ оба нули были, соответственно, изменение вот этого аргумента должно быть 0 вот. Вот смотрите. Пусть исходная система была устойчива в дубль в да мы ее замкнули единичной обратной связью, вот с нас спрашивают. Вот вот тебе годограф исходной системы, да? Осталась ли после замыкания обратной связи система устойчивой? Вот каково здесь изменение аргумента относительно ты единиц.

57:57 Да смотрите, мы с вами смотрим не просто изменение аргумента относительно 0. Мы теперь выглядываем из она единицы и смотрим на годограф. 0 0 0 0 0 0 Да, Изменение аргумента 0. Вот из ты единицы выгляните и посмотрите, что получается тут есть какая нибудь. Линейка, что ли, не знаю, давайте так вот вот выгляните из вода. Единицы посмотрите, вот начали здесь до увеличилось, на пи стало, да вернул снова пи, так потом. Ушло обратно, да и стало снова 0 изменения, то есть из исходной точки до этой точки изменения аргумента. 0 Мы прошли здесь тоже, она осталась также налим.

59:04 Нет, он будет устойчив, замкнутая система будет устойчива, если исходная система была устойчива, то замкнутая остается устойчивой по. Критерию устойчивость Михайлова, то есть гадограф, дубль в от и Омегу, он не охватывает одни единиц. Вот о чем говорит критерий устойчивости. Вот вот видите, вот он здесь не охватывает. Он вокруг походил, походил да и ушел в 0. Вот здесь, вот видите, здесь устойчив до получился, а вот здесь, например, охватывает вот.

59:36 Видите, начали вот отсюда и ушли сюда. Да и получается мнение аргумент сколько то, ты 2 пи. Да вот вот, ну это явно уже получается, тогда замкнутые стены неустойчивы. Так время. Как хорошо, так это неустойчиво, вот замечательные фотографии тех замечательных людей, именем которых называется результат, который мы сегодня изучали. Причем Харитонов, до именем которого названы интервальные, многочлены он еще жив, преподает в СПБ ГУ. Каким то студентам повезло, они изучают отрок человека, который сделал вклад в.

1:00:29 Теория управления.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.