Лекция 11 | Теория автоматического управления

0:00 Вопросы по этим 2 задачам. Сколько асимптот 1? Я согласен с вами, это хороший знак. Значит, у нас с вами получится, что так полюса до рисуем у нас здесь, 2 да вот здесь и вот здесь. Соответственно, что у нас получается. Вот часть действительно оси принадлежит Корнелл, гадограф, и все больше действительных частей принадлежит конунгалов. Нет, точка пересечения Осинта, что там она 6 поделить на 4 она, 32 что ли? Да, да, ты полтора + 3 1 значит, вот она точечка.

1:05 Справа да 1 2 3. Нет их 3. Ладно, давайте без полемики, так? Так получаем вот так. И вот здесь, где то есть точки столкновения, до получаем вот так. Вот и весь кг. Посмотрим, я посмотрю, что совпадает, столько и поставь. Слушайте, я баллы не расписал, да здесь что нужно сделать здесь? Асимпт, это 2 балла и. Еще у нас еще точка столкновения есть, на нее волнами, собственно, много получается. Ну ладно, я там решу, сколько баллов за какой задачу, извините, сразу не сказал. Вот, но вот здесь вот есть соответственно точки столкновения.

2:09 Кто вот этот? Подпи пополам! У меня получается ты пополам. Смотреть. Смотрите, вот это место, это точка столкновения ветвей на самом деле, как ее следует рассматривать. Не серьезно поменяйте коэффициент, по варьируйте по формуле, тоже должно получаться пополам, значит, не так посчитали. Но во 1 та формула, которую мы с вами применяли, она не работает, нужно ее заменить, потому что здесь кратный полюс. Здесь нужно воспользоваться свойством про столкновение ветвей, про то, что вообще говоря, где сталкиваются ветви там себя. Годограф ведет очень красивым образом. Вот эти вот звездочки всякие, вот соответственно здесь тоже столкновение ветвей, если вы коэффициент. Усиления, например, сделайте чуть чуть отрицательным, чуть отрицательным, то ветви разойдутся вот так. Вот здесь, в 0 соответственно, прикормлю здесь столкновение ветвей, и они прям вот под прямым углом друг к другу проходят, чтобы не рассматривать отрицательный. Коэффициент усиления смотрите на это, как они должны выйти под пить друг другу эти 2 корня, да потому что это точки столкновения. Соответственно, они под углом пить здесь могут выйти только 2 способами, либо вдоль осели поперек ее. Потому что если мы накласть немного. То тогда не будет симметрично поведения относительно действительности, соответственно, выйти вдоль действительно оси они не могут. Потому что по свойству не принадлежит это часть годографа. Да вот, а единственное, как они могут выйти из этой точки, это поперек все.

4:03 Тут разными способами можно делать 1 вот это заключение, вот если говорить про. Как его выход из Кратного полюса, там формулу эту нужно немного модифицировать, тоже кратный полюс. Тогда там нужно будет читать предел аргумента от дубль в от лямбда до на лямбда и п. И т. в степени эль кратность. Здесь предел, да при Лямбе, стремящемся к этому здесь пи ты, да или, + + наверное, + да и еще получается, что что получается, должно быть здесь, где то. Деление на Эль сейчас, наверное, я вот не уверен в плане деления на эль. Как она должна там выглядит сейчас, сейчас лям до тыко, по это там аргумент.

5:04 Здесь пи + Делить на Эль + 2 Пика. Вот что то такое будет углы выхода. Да потому, что, когда мы считаем аргумент вот от этого в степени эль, тогда у нас получается в или раз больше аргумент, и у нас должно быть вообще говоря из кратного. Полюса, когда выходит или корней до до или ветвей, тогда должно быть соответственно. Эль углов не 1 какой, то угла или к должно быть, вот оно все здесь учитывать, но это прибыль я не уверен в этой формуле.

5:38 Да, должно, но здесь сколько получается. Давайте при строящемся к 0 получается, че там подставляем. 0 Да мы, получается, вообще аргумент равен 0 вот это все равно. 0 Ну получается и пополам, и + еще пи возможной 1 все пипополам, и 3 пополам, и 3 пополам.

6:08 Вот это, если считать по углам выхода, но это непродуктивно вот конкретно в этом месте читать по углам выхода. Конкретно в этом месте просто симметрии все не надо заморачиваться вот этим. Друга По свойству о столкновении ветвей рассматривайте когда да, да. То есть вы только рассматриваете половину этого свойства? Да как при к больших 0 там у нас дельта к было меньше, 0 больше 0 а здесь просто Дельта больше. 0 Вот так и получится так со 2 годографом.

6:53 Там понятно, как он себя должен вести. Это хорошо, это уже хорошо. Здесь что, у нас получается здесь до полис? Где там еще полисы, здесь здесь, здесь, да вот? Но и здесь, да что нужно было по хорошему найти, это углы вот здесь и вот здесь, вот. Я не знаю, какие здесь конкретные углы. Сейчас я не я не считал, просто я не могу сказать. Вот мне кажется, они вот так вот будет я. Мне кажется, говорю, я не уверен. Ну посчитайте сами, ну Господи! Угол, 0 а он там, где и получается, где.

7:55 Да не должно такого получаться, смотрите, ты 5 ты 5. Да и получится 0. Смотрите, не не она 5 сюда подставляем, получаем здесь 25%. 4 Отрицательное число от него пи пи + пи 0! Все нормально получилось, ну по крайней мере у меня вот, но ты. Но в том, где вот здесь свет проходит, я не уверен. Надо вот здесь как раз нужно взять и посчитать угол выхода и входа, а получается так, да? Ну, они симметричны, конечно же, что то такое вот. Вот они обязаны быть или ты?

8:48 разных сей будет, сопряженная, возьмете? Там будет вспоминать или блюза, или ты 2 минуса, поэтому они не могут, они все кричат относительно точки будут она. Что то странно говорить, я не согласен, я не согласен. Конечно, согласен, согласен, согласен? Проверьте, должно получаться должно. Давайте займемся тем, что нам нужно заниматься на этом занятии, хорошо вот. Оставим это до консультации, так? У нас с вами сегодня не менее интересная тема на самом деле.

9:39 У нас сегодня с вами разговор про. Представление в пространстве состояния и про управляемость и наблюдаемость. Вот это вообще, говоря говоря, основа для. Фундаментальные понятия во всех применяемых современных матричных методах в теории управления. Поэтому вам эти понятия необходимо знать. Но если, конечно, кому нибудь придется сталкиваться с Терри управления на практике, а надеюсь, кому то придется, она приятно так, ну. Значит, сегодня мы говорим с вами про управляемость и наблюдаем.

10:29 Мость кино. Итак, мы с вами дали определение, сказали, что система управляема тогда, когда. Кто нибудь подскажет, а? Это не определение, это уже теорема. Определением было, да когда есть какое то управляющее воздействие, переводящее из 1 за 1 точке в другой за 1 точку. Вот да, нам любые 2 подкинули, сказали, с тем сейчас находится там. А хотим, чтобы находилась там через такое то время, и мы можем подобрать. Такую функцию, которая, ну, такое управляющее воздействие, которое это сделает, вот, а соответственно, критерием для того, что можно подобрать такую.

11:21 Скажем так, такое управляющего здесь уже было про ранг, да? Хорошо, но вот давайте займемся тем, что доказываем то, что вот это самое утверждение нам доставляет критерий, так? До вас. Дошел, дошел. Я пару дней назад высылал вам конспектик сегодняшней лекции, чтобы вы посмотрели до лекции. К сожалению, не Незнайковым совалась за детей. Ну, там почта Миллеру. Это кому я высылал? Да, да, да, да, Вероника похожа на ту. Ну, жаль, жаль, тогда дайте мне какую нибудь еще почту. Я тогда туда буду высылать, чтобы вы распространили, но ответьте на факультете, не организована вот эта работа. Хорошо, вот если бы было какое то место куда. Б бы я мог вам выкладывать, было бы замечательно. Сам я не осилил сделать отдельно страничку для курса. Простите, вот может быть, следующем году следующем сделаю. Вот жаль, но тогда давайте без конспектта начнем прям.

12:41 Да, будем доказывать критерий, да будем начнем доказывать критерий. Итак, напомню определение система управляема. Если Для любых х от 0 икса, т. и. Т больше 0 существует управление. Окт в переводящая. В х. Вот и теорема, теорема, иногда ее называть теорема Калмана об управляемости. Вот вообще вот все, что касается управляемости, наблюдаемости, это все результаты. По большей части от за авторством Калмана, местами Луенбергера. Но вот таких вот людей, если слышали эти фамилии, вот это вот она и от кого мы не слышали, хорошо так система.

13:49 Там еще было парфамили, но, к сожалению, их не помню, простите так сейчас. Система А. А б точки управляема? Только тогда. Рамк. МЦ Равен Где н это? Где н размер, а В конце это б а б. А квадрат Б. А в степени м ты 1 б вот, МЦ, это матрица управляемости называется. Ну, типа, считайте, контролабилити метрикс так обозначают. Матрица. Управляемость. Вот. Что мы будем делать, а мы сейчас с вами, чтобы вот вот это как то доказать. Во 1 вспомним была совершенно замечательная, прекраснейшая теорема Гамильтона Келли.

15:15 В линейной алгебре, поскольку мы с вами занимаемся линейными системами, то у нас много с вами торчит из линейной алгебры. Кронифера Капельлина. Гамильтона Келли точно была была. Теорема заключается давайте теорема Гамильтона Келли. Келли. И от, а характеристический? Многочлен, а? Так тогда. Ой, Хиат Лямбда Хиат Лямбда характеристики многочлен, а да, да, да нет, а тогда хи от, а равно 0. Нухи характеристический многочлен, вот а если мы туда подставим исходную матрицу, получим 0.

16:34 Доказать можно вообще очень элегантную эту теорему. Вот Гамильтон Келли, если вы рассмотрите. Матрицу алгебраических дополнений. Вот так мы с вами условились единичную матрицу писать, как я, да что получается. То будет ли, что, если обвеска числа ставлю туда матрикс? Да, вместо лямбды не обязательно лямбда число это многочлены. Это очень интересная конструкция, многочлены в многочленах переменной не обязательно должно быть числом. Не обязательно не, ну, может, это могут быть разные природы числа. Ну ладно, это уже полемика, извините.

17:23 Лямбда, я ты, а вот смотрите, возьмем матрицу алгебраических дополнений к лямбдаге! и вот вот такая вот матрица получается, да там внутри стоят многочлены степени, м ты 1 так аудитория. Тут доказательство теорем Гамильтон Келли, а вы там выясняете, что товарищи. Но я так намек дам, как вам ее доказать, а вы соответственно кто захочет, тот запомнит. Так вот представьте матрицу алгебраических дополнений, к какой то матрице умножаем. На нее же. Что мы получим?

18:23 Во 1 Вата Конегречки вполне можно. Это ты 1. Мы обычно считаем матрицу мать 1 через матрицу алгебраических дополнений, правильно? Да, да, да, да давайте возьмем транспонирование. Да, да, мне нравится, мне нравится правильно, да? На детерминатор Лямбдае пакет, а ну либо по другому е умножить на хи от лямпы. Вот соответственно. Теперь вот это то, что здесь стоит, это на самом деле 2 многочлена, тут перемножается. Вот есть посмотреть, вот представьте вот эта. Матрица алгебраических дополнений в ней внутри в элементах стоят, многочлены от лямбы степени, Матрица умножить на лямбду степени, м и я, 1 + какая то другая матрица умножить на лямб степня, она + и так далее + там в конце какая то. Матрица умножена лямбда в нулевой, это вот алгебраических дополнений так можно расписать. Просто понятно, дам многочлены внутри матрицы.

19:50 Вот этой раскрыть, скажем так, матрицу многочленов преобразовать К. Многочлену с матричными коэффициентами. Вот ну как типа лямбда, + 1 да лямбда 1 лямбда ты 2 можно преобразовать к лямбда умноженное. 1 1 0 1 + 1 Что там, 0 0 3 2 вот это вы понимаете? Вы делаете ту же самую операцию с матрицей алгебраических дополнений. Хорошо. Е ты, а это равняется, где умножить на хиат лямбда? А теперь смотрите, мы что здесь записали? Мы записали, что 1 многочлен умножить на другой многочлен, это тоже многочлен. От лямбда равняется 3 многочлен, то есть. Мы сейчас здесь записали, как 1 многочлен с матричным коэффициентом до разложить в произведениях 2 других. И вот теперь сюда мы подставим Лямбда равная, а?

21:08 Потому что теперь уже стал совершенно неважно лямбда, это число или это матрица. И слева мы получаем Ака, а который равен 0. Откурите вот это на досуге вам понравится. То, что вот здесь уже произведение 2 многочленов, равно 3 уже повторяюсь. Неважно, какой мы возьмем лямбда, будет это число или это будет матрица. Потому что это просто произведение 2 многочленов. Вот чисто формально берете, вот лямбда раскрываете, берете, а раскрываете, получаете вот это и.

21:57 Здесь может быть лямбда как раз, например, а? Здесь, подобно попутно, мы как раз используем что то в стиле теорем безу для матричных многочленов. Но это совсем уже перебор, не буду этим грузить, вот вот это. Замечательная теорема Гамильтон Келли, то есть вы берете. Вообще говоря, она шикарна, она шикарна тем, что говорит, что если мы возьмем, например, а в степени там 200000000.

22:26 Вот. То это, а может быть, в степени 20000000 выражено через? Сумму степеней, а от 0 до м и я, 1 где м степень, а? Потому что вы, пан, объясним, что я имею в виду. Давайте запишем вот так. Характеристический многочлен, это же там лямбдавельта и да + там хи 1 на лямбда в М * ты 1. Да я запишу вот так, Авенты равняется и 1, а в ты, 18 и так далее, она хи НТ на и на Е.

23:14 То есть любая степень матрицы выше М. Она, может быть, сведена вот к таким вот суммам от, а меньших степеней. Вот это очень такой мощный момент достаточно. Вот можно. Но если вам нужно искать там, а в степени сколько то много, то лучше, конечно, это делать либо раскладывая по компонентам матрицы, либо. Приводя к форме жарда, как вам больше удобнее, так это удобнее. Это удобно, иногда бывает в теоретических выкладках вот сейчас с вами в том. числе посмотрим, что нам это дает. Так вот, вооружились такой замечательной теоремы. Да что, если мы возьмем характеристики, многочлена? Подставим туда матрицу, а то мы получим на выходе. 0 Так, а вообще говоря, авенты раскладываются таким образом через, а меньшей степени, так?

24:19 Используя это, давайте теперь сделаем следующий шаг. У нас есть система, да теперь переходим к доказательству доказательства исходной теоремы. Так у нас есть система ИКС, точка равно, а икс + б у.

24:43 И В зависимости от произвольности у да мы можем вообще говоря просто записать решение в параметрах. Вот мы с вами знаем, что такое весовая функция, например только здесь. Это чуть более общее понятие, у нас была весовая функция. Для системы с 1 состоянием, грубо говоря, ну и зато и на производных, а здесь у нас с вами наоборот. Система с 1 производной за то, и она состоит вот уже есть весовая функция. Вот что нам здесь нужно иметь, нам здесь нужно иметь.

25:17 Фундаментальное решение, но фундаментальное решение, причем однородное уравнение, фундаментальное решение однородного уравнения ИКС. Вы все прекрасно знаете без меня, да это что из из дифуров, но это могло? Ну, это матричный экспонент, просто вот, соответственно, Икс будет равняться ИКС от т. Напишем вот так будет равняться х от 0. Не Икс на 0 а экспонент, вот а т можно икс от 0. Это составляющая от однородной части уравнения, а от неоднородной. Да будет выглядеть следующим образом, как Интеграл свертки та же свертка экспонента. А от чего там Тау напишем, да?

26:10 Б у от что там, т. ты кал вот? Вот вот это вот прям вот это эквивалентно этому. Ну, только разве что еще условие ИКС от 0 равно 0 и Икс от т. 0 Икс от т. 0 и Икс от т. известный. Вот, значит, нам у нас с вами известно, какой мы хотим получить х т известно, где мы находимся. Х от 0 нужно теперь поработать вот с этим интегральчиком, который сверху, давайте вот с ним и поработаем. Это вот известно. Я вообще говоря, там слева известно и произвольно. Да, то есть выбор там может быть какой угодно вектор. Здесь может быть, какой нужно реализовать интеграцию, так у Атте стало до того.

27:20 Вот и теперь наступает важный момент. Мы теперь с вами матричную экспонент разложим окончательно. Но вот только не будет до бесконечности. Ради этого у нас с вами есть Арем Гамильтон к или? Изначальные экспоненты, это что, единичная матрица? + Что там АТАУ, + а квадратал квадрат пополам? Да ну это экспоненциальный ряд. Сколько угодно членов напишите без моей помощи, вот. А теперь. Вспоминаю вот это, обратим внимание, что каждая степень матрицы, а в том ряду может быть понижена.

28:14 До суммы степеней меньших м вот. Вот и вообще говоря получается. Примерно следующая штука Альфа 1 оттал на единичную матрицу + Альфа 2 оттал на А +. И так далее. + Альфа НТ, а сейчас да на, а в степени ты 1 а то. * Где Альфа и Т. Это функции Оттава, вот причем функции очень классные, они друг с другом независимы друг от друга, вот где. Не не не не многоочлен, тот же ряд много степеней бесконечно. То есть это мы имеем какое то разложение, Альф? Да, но они сами многочленами не являются, где Альфа и т линейно независимые функции.

29:26 Они линейно независимые по 1 интересной причине то, что. Скажем так, Сейчас вот смотрите вот здесь компоненты, да а умножается на тал, а квадрат умножается на тау квадрат. Да 1 степень, которую мы будем понижать в. этом ряде авенты да умножать на то в энтой. И чтобы мы с этим авенты не сделали, как бы его там, на что они разложили, он будет умножаться на та.

30:00 Вот поэтому, если не будем раскладывать, рассмотреть разложение. А 1 какое получается 1 член после просто единичный ма? Просто после единицы, точнее после единицы 1 член в разложении Тейлора. Этой функции будет с энтой степенью таувенты, это означает. Что Альфа 1 от 0 ну в нулевой точке, да она равна единице. Вот по чисто наличия его вот здесь, а Альфа 1 штрих. От 0, например, равно 0 то, что в его ряде Тайлора Тау нету того квадрата, там тоже нету, то есть там дальше. Нули до Энвинус 1 производной.

30:47 Там дальше нули все, а Альфа, 2 например, будет с другими значениями, производной в 0 Альфа 2. Например, в 0 вот он будет 0 то, что у Альфа 2 это та функция, которая стоит перед А. Там стоит тал 1 член, соответственно, нулевого члена, там есть есть, стала, соответственно, 1 производная будет альфа. 2 Штрих от 0 будет равна единицы, вот и так далее. Альфа 2 ты 1 от 0 равно 0 у них получается диагональная. Матрица, вот если посмотрите врынски ан вот этих альф, там получается чисто единичная матрица. Ну как вы видите, вот соответственно они линейно независимы. Вот это что означает, это означает, что мы вообще говоря?

31:41 С помощью этих альф сейчас мы. Сейчас мы, а сейчас что это означает? Нужно сперва еще 1 утверждение писать, чтобы было понятно, что для нас это означает. Давайте снова перепишем Икс от т. ты экспонента, а т. х. от 0. Равно справа, чему теперь мы в экспонент сюда подставляем, раскладываем и записываем сумму, что получается. Ну, раскладываем, разумеется, уже пальцем получаем б на Интеграл. От 0 до т Альфа 1 оттал у отельным, устал, детал.

32:22 1 Интеграл 2 Интеграл будет, а б на интеграл от 0 до т. Альфа, 2 то от ты не устал. + Так далее. + А ты 1 б интеграл от 0 до т альфа НТ? От т не устала, да так. Вот. Здесь Мы можем вот эту замечательную сумму записать. Давайте как произведение 2 матриц, да? Но 1 предсказуемая матрица, да они обе предсказуем с 1 б 2 матрица Бета 1 Бета МТ, где Бета Ита это и есть Интеграл от 0 до т Альфа. Альфа Итах Атал т не устал де Тал. Вот смотрите, выбором у.

33:38 Ввиду линейной независимости Альф мы можем получить произвольные бета. Соответственно. Если кто то хочет конкретное значение этих бед, да он может прям у разложить пальцем. Вы получите Грамиан, да по которому вы найдете коэффициенты, какие хотите. Ну по Альфа, да и вот да, да, да, да, да, просто представьте функцию у как. Сумму как линейную комбинацию альфа и для определения коэффициентов получить полученной линейной комбинации. Вам нужно будет разделить, разделить на Громиан Беты.

34:28 Матрица грамма. Матрица грамм то, что скалярное произведение этих функций соответственно интеграла от их произведений, от 0 даты. Вот и тем самым вы можете для любого набора бета получить у. Который реализует соответствующий набор бета ввиду линейной независимости Альфа, обратите на это внимание. Соответственно, единственное препятствие, которое может быть для того, чтобы, чтобы реализовать любой необходимый сдвиг в. состоянии системы, это вот эта матрица управляемости.

35:14 Так что так? Есть какой то конструктивный способ каких насаждений, потому что тут надо полностью в ряд расложить до бесконечности. Вы можете написать дифур для них. Нет, смотрите, производную возьмите от этого производную, от этого производная. Это что, ну, Альфа, с точкой 1 с точкой другое, с точкой? 3 Да, а с другой стороны, производная от этого по тау. Это есть это же умноженное на, а слева, и вы получите, что Альфа 1 с точкой.

35:55 Равно там сумме определенной альфа 2 с точки, например, равно Альфа 1. Это соответственно, кстати, это, наверное, лучше так доказывать, чем тут плясать с тем, что вранский ан получается единичным. Вы здесь, на самом деле, и вы получите матрицу системы для Альфы. Как раз то, что у нас будет с вами называться скоро канонической формой управляемости. Вот мы сейчас скоро к ней с вами перейдем. Вот соответственно здесь рассуждение понятно, потому что я не знаю, как его коротко записать на доске. Вы сами как то напишите, что.

36:39 В Ввиду линейной независимости Альфа Итах можно. Под Любой вектор. Директор б теитов подобрать. 5 У от т. Вот, следовательно, единственное, что может позволить не реализовать любой вот. Вот этот х т. ты экспонента, а т на х нулевое. Да это та самая матрица управляемости вот. Поэтому для того, чтобы система была управляема, необходимо и достаточно, чтобы необходимо достаточно как то в обе стороны. Потому что сейчас пока только эквивалентным преобразованием занимались вот.

37:38 Необходимо и достаточно, чтобы матрица была полного ранга. Гамильтона Келли, следуешь представимость ряда конечным числом плода. Мы любое слагаемое, а степени больше н представляем в виде суммы, вот слагаемых через Е, а и степени до, а ты 1 включительно любое из этих. Для всех степеней это справедливо, соответственно, это справедливо будет и для суммы. Вот с уже там с такими вещами, как скажем. Гладкость этих функций, конечно, есть уже вопрос в такой постановке, но если записать просто дифур прям для Альфы, то тогда этот вопрос снимается.

38:39 В В смысле, на графике нарисовать? Формула, не знаю, смогу ли я вам записать их формулу, но вопрос интересный, дайте подумать. В явном виде, боюсь, я вам не смогу форму записать. Не записать уравнение для них, конечно, можно, я вам сказал, как вот. Не получится, наверное, в общем виде решить, но так что так, что остается только диффу, не не бесконечно мерно энмерное уравнение получается. Так давайте теперь вот у нас есть с вами критерий управляемости.

39:21 Теперь мы с вами рассмотрим такую интересную вещь, как каноническая форма управляемости. Это как раз та самая матрица, с которой мы сейчас будем иметь дело, которая получается матрицы систему для этих альф. Правда, мы с нами не через Альфу будем к ней подбираться. А наверно следовало бы через Альфу, так? Экономическая. Форма. Управляемости. И так смотрите, если мы возьмем какое то звено, скажем. Скажем так, теорема. Звено. Дубль в от с равно. Почему там в 1 см ты, 1 + + БМТ?

40:23 Делить на СВЛ + а 1. 1 + ТД + Ан т вот такое звено, но Б. Строго реализуемое звено. Старший коэффициент здесь единиц принято нулевой. Так вот, такое звено представимо представимо представимо. Как как она представим, она интересным образом представима. Я напишу систему уравнений, наверное. Д. ПДТ от ИКС Т. ПДТ. Икс равно и так, Икс, точка с точкой равно. - 1 Осталось, а 2 ты, а энте. Здесь 1 0 0 1. 0 0 0 0 Здесь, наверное, 1 0 в конце. Здесь, на Икс, + 1 0 0 на у.

42:20 А игрек равно. Б 1 б 2. Бнтн Икс. Теорема, теорем звено такое то представимо следующим образом. Так здесь икс с точкой? Да, правильно записал, хорошо так, ну. Доказывается тривиально. Вот доказывать, смотреть следующим образом. Давайте рассмотрим сперва последнее уравнение в этой системе. Она будет означать, что она будет у Икс НТ равно, а? Икс Эм ты, 1 Икс Эль ты 1 равно Икс, МТС Точка, да Икс Столбец, да, конечно. Означает последнее уравнение, вот это тоже записано.

43:36 На последней уравненной в этой системе, ну. Ну не туда правильно, хорошо дальше Икс 2 предпоследнее уравнение, что дает. 1 С точкой оно же Икс Энте с 2 точками. Да и так далее, Х. Чего там у нас? 1 Получается, равно Икс энтому 1 производная. Клиента производной подождите, а и Эн Эн ты 1 вроде произвел. Да, да нет, все правильно этого порядка. Мы сейчас записали, вот это это 2 строчка. Икс 1 еще. Я сейчас 2 строчку записал, я 2 строчку записал. Здесь что, Икс, 2 с точкой равно Икс 1 Икс 2 с точкой раскрыли, а Икс 1 равно Икс Энтомусы?

44:52 Производная ты 1. Вот, а теперь 1 строчка правильно, а 1 строчка говорит о том, что Икс. 1 С точкой + а 1 1 + а 2 2 + так далее, + а энты и акценты. Что выражается как? Выразим, потом напишем это производная + а 1 Икс НТ, и Акс, НТ, и Акс НТ, и акценты это будет равно. Вот они же записываем уравнение выхода Игрик равно. Б 1 б. Б 1 ну там, на Икс, 1 которая есть х МТ, в степени ты 1 + и так далее. + Бнты на Икс Эльты вот эти 2 уравнения, это прям чисто звено, которое написано исходно.

46:06 Да, Передаточная функция УК УК. Равна дубль в вот так напишем. В смысле. Все уравнения есть. То есть вот обратно теперь? Откуда у нас получилась вот эта? Матушка уравнения. Это общеизвестно, сейчас мы с вами доказали то, что представим любое звено представимо. Вот так и вот эта вот форма называется каноническая форма управляемости. Да есть еще вот это зовется Кайфут КФУ. Есть еще другая, тоже каноническая форма. Вот. Это только часть рассказа у нас с вами еще есть теорема о том, как к этой форме перейти в общем случае.

47:26 Вот к к такой мы берем какую либо систему, а б ц д. И мы, вообще говоря, можем написать матрицу перехода, с помощью которой осуществить переход от той системы к канонической форме управляемости. Вот сейчас мы с вами это и сделаем.

47:48 Следующий теорема. К к Ф. У. То есть че там микс равно там? С Ц на Икс Ц. Матрицы в записанной в канонической форме управляемости мы теперь будем обозначать с индексом Ц. Вот ну типа! Управляемый в форме управляемости так имеется. Да, имеет вид. Да по хорошему там бы следовало записать, что, а вот а тут и не записано ничего. Да, но вот можете записать, что вот это отце пометят его. Она предстоящима так, потому что вот эти выкладки мы можем обратно сделать.

48:59 Так это? Мы можем взять звено, написать вот это, проверить, что оно равно, конечно, можем в обратную сторону сделать. Ну, смысл мы просто сейчас доказали это. Да в обе к нам разница. Здесь эквивалентности преобразования, тут ничего нет такого, чтобы теряла. Самый последний этап там, где внутри получить под передачную функцию здесь, в. В смысле, вы не видите, что вот это есть передача, что функция исходная? Что вот это вот в знаменателе, я вот он ее числитель.

49:44 От УК Ксентома будет единица делить на знаменатель, а потом умножим на числитель и все. Ну, можете так записать до преобразования Лапласа. Лично я считаю, что вы можете без преобразователь Лапласа сразу записать числитель знаменатель здесь, вот числе. Вот числитель, вот за меня ничего не ясно. Но и цены она уходит, когда мы рассмотрим передачную функцию, а только Игрек она нам будет уже там. Не нужно, так матрица перехода имеет вид. СЦ равно. А б.

50:34 Так далее, а м ты 1 б. Вот произведение 2 матриц будет, матрица перехода 1 матрица вам уже хорошо знакома, а с другой сейчас познакомимся.

51:05 Вот но, но в конце там можно записать, конечно, будет тоже нули нули нули. И в конце единичка здесь. Ну, здесь еще можно записать то, что здесь будет Айн ты, 1 Айн + 2 вот так. Вот так вот. Вот соответственно доказывать то, что такова матрица прихода, можно разными способами. Самой прямой и тупой способ. Доказательство. Проверка. Да, Не серьезно, самый прямой способ, смотрите у нас. Да не парьтесь, сейчас все увидите. Сейчас эксцесс. На СЦ будут равняться АЦ на СЦ.

52:34 1 Вот это утверждение. И 2 То, что я сейчас, если у с ты 1 а неправильно, да здесь сцена, а Ц. Вот как правильно. А 2 это какое утверждение то, что Б. Является б ц на с Ц. Проверка 2 этих утверждений. Можете проверить. Это матрица системы. Да, это матрица системы можете записать что. Правильно спрашивайте, а я не записал. А б. Здесь что то, что то это система? Ну, произвольная система, да? Ну давайте здесь д и 0 вот так исследуемая система выглядит таким образом.

54:09 Это коэффициенты характеристического многочлена либо коэффициенты в матрице. Экономической форме управляемости вот там, в конической формы прайс 1 строчка. Это как раз матрицы, коэффициенты, а а 1, а 2 так далее. Да, Да, Нет, эти коэффициенты это коэффициенты характеристического многочлена матрицы, а? А это коэффициенты? До терминанта Елянда ты, а? А почему так почему? Ну, сейчас уверен, почему так мы это доказываем. При в 3 лямб в степени аминосатин, а нулевой да, да и главное. Да, конечно, в характеристику многочлен по построению всегда старший единичный коэффициент.

55:21 Да, там всегда единичный коэффициент в характеристическом. Так вот, 2 равенство кто нибудь может проверить вот в канонической форме. Управляемость как бы выглядит б ц, это что такое? Вот там только что записывали. 1 0 0 0 0 0 Да вот смотрите, 1 0 0 0 0 Берем умножаем вот на эту матрицу, что получаем. Столбец получаем, да какой? Но это будет 1 0 0 0 0 0 после произведения, соответственно, потом умножаем на эту матрицу и получаем Б. Элементарно, то есть вот это есть, вот это это элементарно.

56:15 Вот 2 пунктик. Да, с 1 не так элементарно! 1 Пунктик интересен. Вингыми Сейчас вообще говоря, если взять вот раскрыть это произведение. У нас что, получится у нас, получится матрица, у которой достаточно интересные столбцы, вот довольно. Вот давайте эти столбцы запишем их 1 столбец. Это что будет, это будет бы столбится 2? Будет, что у нас там это будет, а + а 1 е на б. В 3 будет, а квадрат +. А 1 на А. + А 2 е все это на б и так далее. То есть матрица Сци состоит вот из этих ф 1 ф 2 и так далее, Ф. Ф.

57:36 Понятно, да, но а эф Эн, то это будет что там здесь 3 точки. Да, ФНТ это будет, а в степени ты 1 + а 1 степени, а и так далее, + а м ты 1 е на б.

57:59 То есть если мы еще раз применим подобную операцию, то получится вообще характеристический многочлен. Это еще не он, но если еще раз принять. Получится он будет просто 0 уже вот, а так это все разное столбцы, причем они линейно независимые. Вот управляемая система, разумеется, вот конструкции.

58:20 Какая то матрица, умноженная на столбец матрицы на столбец, эти столбцы. Вот а матрица перехода состоит из этих столбцов, вот соответственно эти столбцы внимания это. При смене базиса с помощью матрицы СЦ это координаты нового базиса в терминах старого, да? Хорошо, хорошо по определению, вот соответственно, мы сейчас с вами что можем сделать. Мы сейчас с вами можем взять и записать равенство, а на СЦ. Как переходят? Куда точнее, куда эти столбцы переходят в новой системе при умножении на матрицу, а что с ними происходит с этим вот?

59:18 Вот что там будет, а, например, на ф 1. Это что будет это будет, а б это это будет? Что у нас там это будет? Сейчас это будет ф 2 она ты, а 1 на ф 1. Вот так вот, например, обратить внимание я вырезал через Ф. Сейчас здесь вот это как происходит дальше, а ф 2 это что будет это будет, а квадрат, + а 1 а да вот это. И + а 2 на б то есть это получается. Что там будет это будет? Ф 3 3 а 2 на ф 1 снова. Далее. А на Ф. Что там? Это будет здесь собираются практически характеристический многочлен, кроме 1 коэффициента АМ ТНБ ты, а м т на ф 1.

1:00:41 Да я здесь воспользовался этим свойством, так вот смотрите, что получается. Если вы теперь запишите вот эти равенства, которые мы получили в матричной форме, то то, что мы здесь получали, будет, а на СЦ. А то, что записано справа, это сц умножить на АЦ, на самом деле то есть то, что записано. С левой стороны от равенств. Это есть что там у нас будет, а умножить на ф 1 ф 2 и так далее ФНТ? Вот а то, что записано справа, это будет что. Это будет сейчас сейчас 1 ф 2 и так далее. ФНТ нет, только не так, не так.

1:01:37 Сейчас 1 2 икдания Франта. Умножить. На что их нужно умножить, вот чтобы получить? А на Ф 1 да что нужно сделать, Ф 2 ты ты, а 1 ф 1? Это 1 столбец, записываем, то есть ты, а 1 ф 2 0 0 2 утверждение будет она, а 18 0 но его догадываюсь, что дальше получается просто.

1:02:15 Матрица Ация. Таким образом, мы доказали, что АЦ и БЦ таким образом получаются с помощью такой матрицы перехода. Ну и перейдя вот к этому новому хитрому базису, который явно имеет, что то общее с теми самыми альфами вот. Да вот, БЦ, так вопрос, а что с матрицей ц приходит ли она к ЦЦ? Матрица Ц это, которая должна получить коэффициенты, а а б 1, б 2 и так далее. Вот матрица Ц в канонической форме управляемости она, получится ли?

1:03:15 А можете еще раз, пожалуйста, напомнить. Матрица, цепь просто какая то произвольная строка, а матрица, цепь. Это из канонической формы управляемости то, что б 1 б 2 б. Это матрица системы в той экономической форме. Так вот, прошу вас, попробуйте, вот подумайте, почему матрица с автоматически получится той, которая нужно. Не надо доказывать то, что она переходит в такую матрицу, вы употеете это делать, а? Можно. Да сейчас чуть чуть еще и закончим.

1:04:03 Так подождите. Сейчас секундочку. Здесь мы с вами изучили вопросы. Касаемо управляемости, на самом деле есть еще 1 вопрос в управляемости. Вот как разделить систему, вот у нас есть система, которая не управляема. Из нее можно выделить управляемую часть и неуправляемую. Часть это можно сделать, если вы возьмете. Посмотрите внимательно, как при переходе к Новому базису. Как меняется матрица, управляемости системы, она меняется умножением на эссе, там она 1 по моему, да вот.

1:04:52 Я думаю, с ты 1 умножить на МЦ будет, вот и нет, не надо. Ну да б, а б, а квадрат, б и так далее матрицу. Вот соответственно, если вы матрицу управляемости элементарными преобразованиями приведете к виду. Давайте вот так вот. Теперь вопрос как выделить. Управляемую часть системы. Если МЦ, если ранг МЦ не равен н. Вот нужно ответ. Найти найти с которая. МЦ переводит вот в такую форму, где МЦ. Где у нас что тут НЦ с волной я тут написал? Да где к такой форме, в которой часть строк матрицы МЦ да получились полевые? А а при этом начальная часть матрицы МЦ имеет полный ранг?

1:06:25 То есть если мы матрицу МЦ приведем к такому виду, что у нас 1 там, скажем, Эль Строк имеют полный ранг, то есть ранг у той матрицы из 1 Ильстрок равна эль и. Можно так, а можно его не оставлять в верхнем углу, можно его в другом месте? Не главное, Минор, это другой, ну скажем, не нулевой. Минор самый большой, не нулевой минор среди 1 Эльстрог просто. Главный минор, это который диагональный. Может быть, я неправильно звоню по моему просто диагональ, так вот.

1:07:09 Приводите матрицу управляемости к такому виду, чтобы 1 эль строк. Имели ранг эль да полный ранг, а соответственно оставшаяся часть была нулевой. Вот когда вы приведете матрицу управляемости к такому виду то тогда матрица, то тогда система. Тогда система. Который вы рассматриваете, перейдет к следующему виду, а 1 1 2 0 а 2 2? Б 1 0. Здесь, соответственно, ц 1 ц 2 вот тогда матрица перейдет вот к такому виду вот здесь, вот. М. ты к строк матрицы б станут нулевыми и еще в матрице, а тоже появится нулевой кусочек. Такой вот, но мы это уже с вами доказывать не будем и.

1:08:20 МЦ. Да, да, да, да, да, да и с тем получится вот такой. Да, да, вот соответственно, просто на самом деле из из того, что матрица МЦ имеет вот такой вид следует. Что, матрица, система имеет вот такой вид? Это не сложно доказывать с рассмотрением инвариантных подпространств матрицы, а изначально в системе матрица.

1:08:53 Мы нулевой здесь рассматриваем, да, да, да. Мы просто будем находиться, в каком то м ты катаном в пространстве всегда и поэтому можно не просто здесь то, что мы выделили в МЦ это. Минимальная размерность, инвариантное подпространство, содержащее матрицу Б. Соответственно, то, что осталось, оно будет уже здесь недоступно для. Как то для матрицы, а в этой степени на б и поэтому соответственно вот здесь. Вот вот эта часть матрица, по сути, это. Как те вектора, которые лежат вне инвариантного подпространства, точнее, как вектора, лежащие инвариантом подпространства, попадают за не его, а они не выходят. Потому что оно потом вариант стресс на здесь. 0 Но это уже такое, это уже я спрашивать не буду.

1:09:59 Да, да, да, да, да, да? Так ну что на сегодня все вот? Соответственно, ко всему тому, что мы сегодня обсуждали, есть еще дуальное понятие, которое называется наблюдаемость. Чуть чуть скажем о нем в следующий раз и перейдем уже. Похожие очень похожи.

Расшифровка сделана автоматически (Yandex SpeechKit) и может содержать ошибки в терминах.